極限の問題です。困ってます・・

質問

平面上に2点O１、O２があり、O1×O2=３である。O1を中心とする半径１の円C1とO2を
中心とする半径２の円C2がある。
O1を通り、直線O1×O2とのなす角がθ（０＜θ＜π/６）である直線ｌとC2の2交点のうち、
O1に近いほうをPとする。

（１）O2からｌに下ろした垂線の足をHとするとき、O2Hの長さをθで表せ。

（２）線分O1PとC1の交点をQとするときlim（θ→+０）PQ/θ＾２を求めよ。

どうやって解けばいいのか、困っています。
詳しく教えていただけたら嬉しいです!!

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
O2H=3sinθ

(2)
PQ=O1H-PH-O1Q
=O1H-√(PO2^2-O2H^2)-O1Q
=3cosθ-√(4-9sin^2(θ))-1

lim(θ→+0) PQ/θ^2
=lim(θ→+0) {3cosθ-1-√(4-9sin^2(θ))}/θ^2
分子の有理化をして
=lim(θ→+0)
{(3cosθ-1)^2-(4-9sin^2(θ))}
/[{(3cosθ+1)+√(4-9sin^2(θ))}θ^2]
=lim(θ→+0) {9cos^2(θ)-6cosθ+1-(4-9sin^2(θ))}
/[{(3cosθ+1)+√(4-9sin^2(θ))}θ^2]
=lim(θ→+0)
{9-6cosθ+1-4}/[{(3cosθ+1)+√(4-9sin^2(θ))}θ^2]
=lim(θ→+0)
6{(1-cosθ)/θ^2}/{(3cosθ+1)+√(4-9sin^2(θ))}
=6lim(θ→+0)
{(1-cosθ)/θ^2}*[1/{(3cosθ+1)+√(4-9sin^2(θ))}]
=6lim(θ→+0){(1-cosθ)/θ^2}
*lim(θ→+0)[1/{(3cosθ+1)+√(4-9sin^2(θ))}]
=6lim(θ→+0){(1-cosθ)/θ^2}*{1/(4+2)}
=lim(θ→+0)(1-cos^2(θ))/θ^2}*{1/(1+cosθ)}
=lim(θ→+0)(sinθ/θ)^2*lim(θ→+0){1/(1+cosθ)}
=1*(1/2)
=1/2

お礼

図まで書いてくださってとてもありがたいです！
ありがとうございます。

助かりました！！

回答No.1

Tacosan

「O1×O2」ってなんですか?