楕円に関する問題で質問です。

質問

oを原点とする座標平面上において、２定点Ｆ（ｃ、0）、Ｆ`（ーｃ、0）からの距離の和が2aであるような点Ｐの軌跡をＥとする。（b^2＝a^2-c^2とする）

Ｆ、Ｆ`から、Ｅ上の任意の点ＰにおけるＥの接線ｌに下ろした垂線の足をそれぞれＨ、Ｈ`とするとき、
(1)Ｐでｌにそれぞれ垂直な直線は∠FPF`と２等分することを示せ。

(2)H,H`はＯを中心とする定円上にあることを示せ。

(1)は方針がまったく立ちません。どのように解いていくのか、過程などを詳しく教えていただけませんか？

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

＃１
＞ＰＦ：ＰＦ’＝ＱＦ：ＱＦ’を証明しましょう。

ＱＦ：ＱＦ’はすぐに求められます。
ＰＦ：ＰＦ’を求めるところで沈没します。
直接ＰＦ，ＰＦ’を求めて比をとるという方法は駄目です。しんどすぎます。
ＦＨ：Ｆ'Ｈ'＝ＨＰ：ＰＨ'を示すことができたら、△ＦＨＰ∽△Ｆ'Ｈ'Ｐであることが決まりますので角度が二等分されていることも出てきます。
この比は√　を使わずにｘ座標だけ、またはｙ座標だけで求めることができます。
ＦＨ，Ｆ'Ｈ'，ＰＱは垂線だからです。

＞「b^2＝a^2-c^2とする」

これはおかしいですね。
与えられた条件を変形して楕円の標準形に当てはめると「b^2＝a^2-c^2」が成立するのです。

回答No.1

nag0720

(1)(2)とも地道に計算するしかないでしょう。

(1)は、
∠FPF`の２等分線とx軸との交点をQとすると、
三角形FPF`で、角の２等分線の性質より、PF:PF`＝QF:QF`が成り立ちます。
逆に、PF:PF`＝QF:QF`が成り立てば、直線PQが∠FPF`の２等分線になります。

PF:PF`＝QF:QF`を証明しましょう。