極方程式と軌跡について

質問

点Aの極座標を（１０,０）、極Oと点Aを結ぶ線分を直径とする
円Cの周上の任意の点をQとする。点Qにおける円Cの接線に極O
から垂線OPを下ろし、点Pの極座標を（ｒ,θ）とするとき、そ
の軌跡の極方程式を求めよ。ただし０≦θ＜πとする。とあって、
θ＝π/２のとき、OP＝５+５ｃoｓπ/２を満たす。とあり、
このとき、Qが（５√２,π/４）となるのですが、どうやって
求めるのか、またAはどうなるのかわかりません。よろしくお
願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

図にしてみるのが早道かと思います。

△OQAは、∠OQA=90°の直角三角形。∠QOA=φとおくと、
点Qの極座標=(OQ,φ)=(10cos(φ),φ) …(1)

円Cの中心をDとすると、△OQDはOD=QDの二等辺三角形。
またOP⊥PQ⊥DQなので、∠POQ=∠OQD=φ
したがって、∠POD=2φ、OP=OQcos(φ)　となり、
点Pの極座標=(OP,2φ)=(10cos^2(φ),2φ)
　　　　　　=(5+5cos(2φ),2φ)=(r,θ)　…(2)

(1)(2)より、
点Pの軌跡の極方程式は、r=5+5cos(θ)（但し,0<=θ<π)
点Qの極座標=(10cos(θ/2),θ/2)

これらの式は,
θ＝π/２のとき、OP=5+5cos(π/2)を満たし、また
このとき、Qの極座標=(5√2,π/4）となる。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。内容も詳しく書かれていて大変よくわかりました。