図形と方程式

質問

Ｏを原点とする座標平面上に、半径がすべてｒ（ｒは正の定数）である３つの円Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３がある。円Ｃ１、Ｃ２の中心は、それぞれＯ、Ａ（－６，８）である。また、円Ｃ３は２つの円Ｃ１、Ｃ２に外接し、その中心Ｂは第１象限にある。

（１）線分ＯＡの二等分線の方程式を求めよ。
→自力で解けました。
ｙ＝３／４ｘ＋２５／４です。

（２）円Ｃ１、Ｃ２が２点Ｌ、Ｍで交わり、ＬＭ＝５であるとき、ｒの値と点Ｂの座標を求めよ。
→△ＯＮＬで三平方の定理を使い、点Ｂのｘ座標をａとおき、ＯＢ^２＝（２ｒ）^２であることに式に表す。を使いそうです。

（３）（２）のとき、円Ｃ３の周上に動点Ｐをとる。ＯＰ^２＋ＡＰ^２の最小値を求めよ。
→Ｐ（ｓ，ｔ）とおくとＯＰ^２＋ＡＰ^２になり、ＮＰ^２もｓ、ｔの式にするそうです。

解答と解説をお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

Ｏを原点とする座標平面上に、半径がすべてｒ（ｒは正の定数）である３つの円Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３がある。円Ｃ１、Ｃ２の中心は、それぞれＯ、Ａ（－６，８）である。また、円Ｃ３は２つの円Ｃ１、Ｃ２に外接し、その中心Ｂは第１象限にある。

>（１）線分ＯＡの二等分線の方程式を求めよ。
>→自力で解けました。
>ｙ＝３／４ｘ＋２５／４です。……（１）

>（２）円Ｃ１、Ｃ２が２点Ｌ、Ｍで交わり、ＬＭ＝５であるとき、ｒの値と点Ｂの座標を求めよ。
>→△ＯＮＬで三平方の定理を使い、点Ｂのｘ座標をａとおき、ＯＢ^２＝（２ｒ）^２であることに式に表>す。を使いそうです。
点ＮはＯＡの中点だから、ＯＮ＝（１／２）ＡＯ
ＡＯ^2＝（０＋６）^2＋（０－８）^2＝１００　ＡＯ＝１０　ＯＮ＝５
△ＡＬＭが二等辺三角形だからＬＭの中点でもある。
だから、ＬＮ＝５／２、
△ＯＮＬで三平方の定理を使い、
ｒ^2＝ＯＮ^2＋ＬＮ^2
　　＝５^2＋（５／２）^2　ｒ＝５ルート５／２……答え

点Ｂのｘ座標をａとおき、Ｂからｘ軸上仁おろした垂線の足をＣ（ａ．０）とする。
点Ｂは（１）上の点だから、Ｂのｙ座標は、（３／４）ａ＋２５／４　
ＯＢ＝２ｒ＝５ルート５
△ＢＯＣは直角三角形だから、三平方の定理より
ＯＢ^2＝ＯＣ^2＋ＢＣ^2
（５ルート５）^2＝ａ^2＋（（３／４）ａ＋２５／４）^2　これを整理して因数分解すると
（ａ＋１１）（ａ－５）＝０　ａ＞０よりａ＝５　
ｙ座標は、（３／４）ａ＋２５／４＝１０　よって、Ｂ（５，１０）……答え

>（３）（２）のとき、円Ｃ３の周上に動点Ｐをとる。ＯＰ^２＋ＡＰ^２の最小値を求めよ。
>→Ｐ（ｓ，ｔ）とおくとＯＰ^２＋ＡＰ^２になり、ＮＰ^２もｓ、ｔの式にするそうです。
Ｐ（ｓ，ｔ）とおくと、点ＮはＯＡの中点だから、Ｎ（３，－４）
ＯＰ^2＝（ｓ－０）^2＋（ｔ－０）^2
ＡＰ^2＝（ｓ＋６）^2＋（ｔ－３）^2
ＮＰ^2＝（ｓ＋３）^2＋（ｔ－４）^2
これらを展開して整理すると、
ＯＰ^２＋ＡＰ^２＝２ＮＰ^2＋５０　という関係が成り立ちます。
だから、ＯＰ^２＋ＡＰ^２の最小値は、
ＮＰの最小値を求めて、その値を２乗して２倍して５０を足したものになります。

ＮＰの最小値は、図から、点Ｎ，Ｐ，Ｂが一直線に並んだときの値です。
ＮＰ＝ＮＢ－ＢＰ＝ＮＢ－ｒ　で求められます。
ＮＢ^2＝（５＋３）^2＋（１０－４）^2＝１００　ＮＢ＝１０
ＮＰ＝１０－（５ルート５／２）
この値を２乗して２倍して５０を足すと
ＯＰ^２＋ＡＰ^２の最小値＝６２５／２－１００ルート５　……答え　になりました。

答えが違ってるとか何かあったらお願いします。

回答No.3

ferien

補足と訂正です。

>点Ｂは（１）上の点だから、Ｂのｙ座標は、（３／４）ａ＋２５／４　
について、
△ＢＡＯは二等辺三角形だから、底辺ＯＡの二等分線（１）は、頂点Ｂを通ります。

>Ｐ（ｓ，ｔ）とおくと、点ＮはＯＡの中点だから、Ｎ（３，－４）
>ＯＰ^2＝（ｓ－０）^2＋（ｔ－０）^2
>ＡＰ^2＝（ｓ＋６）^2＋（ｔ－３）^2
>ＮＰ^2＝（ｓ＋３）^2＋（ｔ－４）^2
ＡＰ^2＝（ｓ＋６）^2＋（ｔ－８）^2　　です。

回答No.1

mister_moonlight

計算が煩雑だから、計算のチェックはして欲しい。

Ｃ１：(x)＾2＋(y)＾2＝r＾2　‥‥(1)、Ｃ２：(x＋6)＾2＋(y-8)＾2＝r＾2　‥‥(2)、Ｃ３：(x-α)＾2＋(y-β)＾2＝r＾2　‥‥(3)　とする。α＞0、β＞0、r＞0.
(1)と(3)、(2)と(3)が外接するから、2円の半径の和＝中心間の距離だから　α＾2＋β＾2＝4r＾2　‥‥(4)、(α＋6)＾2＋(β-8)＾2＝4r＾2　‥‥(5)、　(4)－(5)から　3α-4β＋25＝0　‥‥(6).
Ａから直線ＬＭに垂線を下し、その足をＨとすると　ＡＬ＾2＝ＡＨ＾2＋ＬＭ＾2　だから、点Ａと直線(6)との距離の公式から　ＬＨ＝5/2、ＬＭ＝5　より　4r＾2＝125.
よって、(4)～(6)と　4r＾2＝125　より、連立すると、α＞0から　α＝5、β＝10.

Ｐ(r*cosθ-5、r*sinθ-10)だから、ＯＰ^２＋ＡＰ^２＝(r*cosθ-5)＾2＋(r*sinθ-10)＾2＋(r*cosθ＋1)＾2＋(r*sinθ-18)＾2＝実際に計算して＝(2r＾2＋450)-8r(cosθ＋7sinθ)の最小値を求める。
2r＾2＋450は定数だから、cosθ＋7sinθ≦√(50)より最小値は求められる。

続きは自分でやって。あ～、面倒だった、書き込みが。。。。。ｗ