数II 軌跡

質問

原点をOとするxy平面上に2直線l:y=1,m:y=-2がある。点Aがl上を、点Bがm上を∠AOBが直角となるように動く。Oから線分ABに垂線OHを引く時、次の問いに答えよ。

(1)点Aの座標を(a,1)とするとき、点B,Hの座標をそれぞれaを用いて表せ。ただし、a≠0とする。
(2)点Hの軌跡を求めよ。

どちらか一方だけでも良いので、解答宜しくお願いしますm(_ _)m

回答No.5

mister_moonlight

書き込みみす。

（誤）y＋2≠0より、a（y＋2）＝2x。ここで、aを消すだけ。a≠0からx≠0.　
（正）a（y＋2）＝2x。明らかにy＋2≠0より、a＝（2x）/（y＋2）。ここで、aを　y/2＝-1＋（6）/（a^2+4）に代入して、消すだけ。a≠0からx≠0.

お礼

丁寧に有難う御座います。
感謝します！

回答No.4

Mr_Holland

＃２です。
　回答に誤りがありましたので、訂正させてください。

＞　ただし、ａ≠０なので、２点（０，±３／２）　は除く。
(正)　ただし、ａ≠０なので、２点（０，１）、（０，－２）　は除く。

回答No.3

mister_moonlight

＞H( 6a/(a^2+1) , 2(-a^2+2)/(a^2+4) )

H( 6a/(a^2+4) , 2(-a^2+2)/(a^2+4) )の間違いじゃないか？

x＝6a/(a^2+4)、y/2＝(-a^2+2)/(a^2+4)＝-1＋（6）/（a^2+4）であるから、6a/(a^2+4)＝x＝a（y＋2）/2より、y＋2≠0より、a（y＋2）＝2x。
ここで、aを消すだけ。a≠0からx≠0.　軌跡は円になるんじゃないか？

計算に自信なし、チェックしてね。

回答No.2

Mr_Holland

＞(1)については自力で解くことが出来ました。
＞B(2/a,-2)
＞H( 6a/(a^2+1) , 2(-a^2+2)/(a^2+4) )

　点ＢはＯＫですが、点Ｈはｘ座標の分母に誤りがあります。
　6a/(a^2+4)　になると思います。

＞2)で、点Hの座標を(x,y)と置き、aを消去するという方針までは立ったのですが、その後が分かりません。

　まず　ｘ＝6a/(a^2+4)、　ｙ＝2(-a^2+2)/(a^2+4)　と置きます。

　ｙの方を整理すると、次のように ａ　について解くことができます。

　　ｙ＝2{-(a^2+4)+6}/(a^2+4) ＝ -2 +12/(a^2+4)
　∴1/(a^2+4)＝（y+2)/12
　　a＝±２√{ (1-y)/(2+y) }

　これをｘの式に代入すると、ａ　が消えて　次のような円の方程式が得られます。

　　ｘ＝±(y+2）√{ (1-y)/(2+y) }
⇔　x^2＝(y+2)(1-y)
⇔　x^2+(y+1/2)^2＝(3/2)^2

　従って、点Ｈの軌跡は、点（０，－１／２）を中心とした半径　３／２　の円の円周を描く。
　ただし、ａ≠０なので、２点（０，±３／２）　は除く。

回答No.1

spring135

丸投げは規約により答えることも禁止されていますので、どこまでやってどこがわからないかを明らかにしてください。

補足

(1)については自力で解くことが出来ました。
B(2/a,-2)
H( 6a/(a^2+1) , 2(-a^2+2)/(a^2+4) )

(2)で、点Hの座標を(x,y)と置き、aを消去するという方針までは立ったのですが、その後が分かりません。