中学生の図形の問題です。

質問

中学生の図形の問題です。
家庭教師のバイト先で質問されました。
わからないので、教えて下さい。

定円Ｏ外の定点Ｐからこの円に接線ＰＡ、ＰＢをひき、接点をそれぞれＡ，Ｂとする。
劣弧ＡＢ上の任意の点Ｍにおいて円Ｏに接線を引き、Ｐを通ってこれに平行な直線Ｌをひく。
Ｌと２直線ＡＭ、ＢＭとの交点をそれぞれＣ，Ｄとし、直線ＡＤとＢＣとの交点をＮとするとき、
（１）ＣＤの長さは一定であることを証明せよ。
（２）ＭＮの長さは一定であることを証明せよ。

回答No.3

nattocurry · ベストアンサー

LとAPとの交点をQ、LとBPとの交点をR、としたほうが、きれいかも。
OA＝OM　⇒　△OAMは二等辺三角形
∠OAQ＝∠OMQ＝90°　⇒　∠QAM＝∠QMA　⇒　△QAMは二等辺三角形
△QAM∽△PAC　⇒　PA＝PC

お礼

ありがとうございます。

これで安心して指導ができそうです。

回答No.2

nattocurry

(1)
ADとLとの交点をQ、BCとLとの交点をRとします。

AもBもMも円Oの円周上にあるので、
OA＝OB＝OM
よって、△OAMも△OBMも二等辺三角形

∠OAM＝∠OMA＝(180°－∠AOM)／2＝90°－∠AOM／2
∠AMQ＝∠OMQ－∠OMA＝90°－(90°－∠AOM／2)＝∠AOM／2
∠MAP＝∠OAP－∠OAM＝90°－(90°－∠AOM／2)＝∠AOM／2
△PACに注目すると、
∠PAC＝∠PAM
∠PCA＝∠QMA
∠PAM＝∠QMA＝∠AOM／2なので、
△PACは二等辺三角形で、PA＝PC

同様に、△PBDは二等辺三角形で、PB＝PD

よって、CD＝PC＋PD＝PA＋PBとなり、CDは一定。

(2)
題意より、PA＝PBなので、PA＝PB＝PC＝PDとなり、□ABCDは中心をPとし半径＝PAの円に内接する。
Pは直線CD上にあるので、∠CPD＝180°、つまり、CDは円Pの直径。
よって、∠DBC＝∠DAC＝90°となり、∠MAN＝∠MBN＝90°となる。
□AMBNにおいて、∠MAN＋∠MBN＝180°なので、□AMBNは円Oに内接する。
そして、∠MAN＝∠MBN＝90°なので、MNは円Oの直径であり、一定。

回答No.1

hrsmmhr

あまり考えてないのですが
MがAに近づくと、CもDもAに近づくという気がしますが、あってますか？

補足

確かにＤは近づきますが、Ｃは離れていくと思います。

実際に作図してみればわかります。