数Ａ(証明)

質問

いつもお世話になってます。
数Ａからの証明の練習問題です。画像をご覧下さい。

問題「図のように、円Oの外部の点Pを通る直線が円Oと2点A、Bで交わるとする。Pから円Oに接線を引き、その接点をTとすると、PA・PB=PT^2が成り立つ。このことを証明しろ。」

方冪の定理の応用練習問題です。

PA・PB=PT^2は三角形の相似比の比例式の内項の積=外項の積を表したものだから、元の比例式はPA:PT=PT:PBになると思います。ここから、△PAT∽△PTBが言えると思うのですが、それを導くための筋道がわかりません。

アドバイス下さい。宜しくお願いします。

回答No.4

IveQA · ベストアンサー

プロフ見ました。
着実に学びを進められている社会人の方なのですね。
応援します！

＞ただ、教科書レベルではありますが、方冪の定理については、
＞円周角の定理又は円に内接する四角形の定理を元に、まず三角形が相似であることを示し、その相似比の、対応する二辺についての比例式を表した後、内項の積=外項の積の形で表したものが、方冪の定理の肝だと解釈しているのですが、これは誤りでしょうか。

定理証明の肝ということでしたらその通りです。

＞また、特に弦が円の半径を通る時ならば、内項の積=外項の積で表した等式を半径rなどを使って表し、それらは共通して|PO^2-r^2|が言える。くらいしか今はやってませんが、いずれにせよ、等式「PA・PB=PT^2」が成り立つのは、その元であるある二つの三角形が相似であることが満たされなければ、等式も導く事が出来ないという考え方は誤りなのでしょうか。

＃２さんのように他の証明方法（すでに学んだ方冪の定理PA・PB=|PO^2-r^2|を利用）
もありますから三角形の相似が必須というわけではないです。
でも１つの（でも基本の）証明の仕方として
「二つの三角形が相似であることを示せればPA・PB=PT^2が導ける」
と考えているのでしたら間違ってないです。
（つまりdormitoryさんが「・・・が言える」と書いたのは
本当は「・・・を言えばいい」（「言わなくてはならない」ではなくて）
という意味だったらOKです。）

証明の大まかな流れを書くとこうなります。
　（仮定）「図のように、円Oの外部の点Pを通る直線が円Oと2点A、Bで交わるとする。Pから円Oに接線を引き、その接点をTとする」
⇒「2組の角がそれぞれ等しい」（接弦定理から）
⇒「△PAT∽△PTB」（相似条件から）
⇒「PA:PT=PT:PB」（相似な三角形の対応する2辺の比が等しいから）
⇒「PA・PB=PT^2」（結論）
参考まで。

お礼

知己を得た！ という感です。
クドクドと請うて申し訳ありませんでした。とても参考になりました。

回答No.3

IveQA

＞文についてですが、問題の等式が成り立つ筋道を逆に辿っていけば、「PA・PB=PT^2ならば、△PAT∽△PTBが言える」と書いただけです。大きな違いはないと思うのですが…
それは逆。
（やはり勘違いしてたか）
大きく違うよ！
仮定⇒結論を示すのに結論⇒仮定で示そうとしている。
仮定（与えられた条件）から結論PA・PB=PT^2を示さなきゃ。
この問いではたまたま同値変形になるからそれも可能だけど
それを断らずに証明すると減点の対象になる。
数学Aの命題と論理で詳しくやる。
「p⇒q」と「q⇒p」は別の問題。

お礼

論理と集合は一通りやっておりますが、数学があまり得意でないので…

ただ、教科書レベルではありますが、方冪の定理については、

円周角の定理又は円に内接する四角形の定理を元に、まず三角形が相似であることを示し、その相似比の、対応する二辺についての比例式を表した後、内項の積=外項の積の形で表したものが、方冪の定理の肝だと解釈しているのですが、これは誤りでしょうか。

また、特に弦が円の半径を通る時ならば、内項の積=外項の積で表した等式を半径rなどを使って表し、それらは共通して|PO^2-r^2|が言える。くらいしか今はやってませんが、いずれにせよ、等式「PA・PB=PT^2」が成り立つのは、その元であるある二つの三角形が相似であることが満たされなければ、等式も導く事が出来ないという考え方は誤りなのでしょうか。

アドバイスお願いします！

回答No.2

tomokoich

方べきの定理から
PA・PB=OP^2-OT^2より
PA・PB=PT^2
でいいのでは

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

IveQA

接弦定理を使ってみたら。
＞、△PAT∽△PTBが言えると思うのですが、
これは「△PAT∽△PTBを言うと思うのですが」の誤りだよね？
（結論の形を変えてきたものだから）

お礼

正弦定理はここでは扱わないものとします。

恐らく三角形の相似条件を満たす必要があると思います。(今、四苦八苦しとりますが)
文についてですが、問題の等式が成り立つ筋道を逆に辿っていけば、「PA・PB=PT^2ならば、△PAT∽△PTBが言える」と書いただけです。大きな違いはないと思うのですが…

回答ありがとうございました

補足

すいません。接弦を正弦と間違えました。早速やってみます