平面幾何 証明問題 （円・三角形）

質問

正三角形ABCの辺BC上に点B、Cと異なる任意の点Qをとり、直線AQが正三角形ABCの外接円と交わる点をPとする。
(1)1/PB+1/PC=1/PQ　が成り立つことを証明せよ
(2)AQ・AP＝AB^2　が成り立つことを証明せよ
(3)PB+PC＝PAが成り立つことを証明せよ

という問題に取り組んでいます
図示してみて、ΔBPQとΔACQが相似であることはわかったのですが、それ以降(1)から(3)の式が一体どうすれば示せるのかがわかりません。
何か特別な定理の証明なのでしょうか？
どういうところに着目すればいいのでしょうか？
回答いただけると幸いです
宜しくお願いいたします

回答No.6

amanita · ベストアンサー

#1です。寝付けないので戻ってきました。

#3さん、#4さん、ご回答ありがとうございます。
それでは僭越ながらまとめを・・・。

(1)・(2)とも、およそ幾何の問題とは思えない式の形をしているので、
両辺にいろんな値を掛けたり割ったりして、なんとかイメージしやすい
形に式を変形する努力をする。
そうすると、なんとなく(1)ではPQ・PB+PQ・PC=PB・PC、
(2)ではAP/AB＝AB/AQという形が見えてくる。
すると(1)は、線分の掛け算だから、「面積の問題だ～」
(2)は線分の割り算だから「相似形の問題だ～」という直感が働く。
あとは試行錯誤。

(3)はそのまんま幾何の問題のような式の形をしているから
図形上でPAからPBなりPCの長さを切り取ってみて適当に補助線を
引いてみる・・・。

というところが解答のポイントということでよろしいでしょうか？

いやー、中年脳にはなかなかきつい問題でした。
息子が大きくなって、こんな質問をするようななったら、答えられるかな？
日ごろから頭は回転させておかなければいけないということを
痛感しました。

お礼

3人の方々回答ありがとうございました。
おかげでさっぱりわからなかったものが一気にわかりました。
本当にありがとうございました

回答No.5

nisinihon_765

No4です。(3)の別解も。

トレミーの定理を使います。
四角形ABPCは円に内接しているので、

AC・BP＋AB・PC=AP・BC

が成立します。
更に今、うれしいことに三角形ABCは正三角形なので

AB=BC=CA

も成立するので、

PB+PC＝PA

がでてきました。

回答No.4

nisinihon_765

(1)の別解です。

No3さんがおっしゃるように∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＝60°
すると当然∠BPC=120°
ここで与式の分母を全てはらうとPQ・PB+PQ・PC=PB・PC、これを示したらいいのです。
図を見ると、この式からは三角形の面積を考えろ～と言われてるように思えました。
実際に
三角形BPC=1/2PB・PC・sin120°
三角形BPQ=1/2PB・PQ・sin60°
三角形PCQ=1/2PQ・PC・sin60°　
また、三角形BPC=三角形BPQ+三角形PCQ
より簡単にPQ・PB+PQ・PC=PB・PCがでてきます。

回答No.3

debut

じゃあ（１）を。長い。

円周角の定理から、∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＝60°でＰＱは∠ＢＰＣの
二等分線になるから、ＱＢ：ＱＣ＝ＰＢ：ＰＣ　となる。
※このことは三角形の二等分線と辺の間に成り立つ性質ですから要確認。
ここで、定数ｋを使うと、ＱＢ＝ｋＰＢ、ＱＣ＝ｋＰＣ・・（１）
となり、正三角形だから、
　　ＢＣ＝ｋＰＣ＋ｋＰＢ＝ＣＡ・・（２）
次に、△ＢＰＱ∽△ＡＣＱより対応する辺の比をとって、
　ＰＢ：ＣＡ＝ＰＱ：ＱＣ
ここに（１）（２）を代入すると、ＰＢ：(ｋＰＣ＋ｋＰＢ)＝ＰＱ：ｋＰＣ
よって、ｋＰＱ(ＰＣ＋ＰＢ)＝ｋＰＢ・ＰＣ
すると、　ＰＱ・ＰＣ＋ＰＱ・ＰＢ＝ＰＢ・ＰＣ
両辺をＰＱ・ＰＣ・ＰＢで割ると、
　　　　　１/ＰＢ＋１/ＰＣ＝１/ＰＱ

と、全部書いたけど、削除ですかね・・
誰か（２）を

回答No.2

amanita

#1です。

（２）もできたような気が・・・。

△ＡＢＱ、△ＡＢＰにおいて、
角ＢＡＰ（角ＢＡＱ）は共有
角ＡＰＢ＝角ＡＢＱ＝６０度ゆえ両者は相似
ゆえにＡＰ／ＡＢ＝ＡＢ／ＡＱ
この両辺にＡＢとＡＱを掛けると
ＡＱ・ＡＰ＝ＡＢ＾２

すみません。どなたか（１）がわかるかた、よろしくお願いします。
もう寝ます。

回答No.1

amanita

いやー、難しいですね。
頭の体操のつもりで、25年ぶりに幾何の問題にチャレンジしてみましたが、なかなかわかりません。

でも、とりあえず（3）はできたような気がします。

ＰＡ上のＰＢ＝ＰＲとなる点をＲとする。
ＰＡ上のＰＢ＝ＰＳとなる点をＳとする。
すると、△ＢＰＲと△ＣＰＳは正三角形になる。
△ＡＢＲと△ＡＣＳは合同ゆえ、ＡＳ＝ＢＲ
ところがＢＲ＝ＢＰ＝ＰＲ
またＰＳ＝ＰＣ
ゆえにＰＡ＝ＡＳ＋ＰＳ＝ＰＢ＋ＰＣ