• ベストアンサー

平面幾何　証明問題　（円・三角形）

正三角形ABCの辺BC上に点B、Cと異なる任意の点Qをとり、直線AQが正三角形ABCの外接円と交わる点をPとする。 (1)1/PB+1/PC=1/PQ　が成り立つことを証明せよ (2)AQ・AP＝AB^2　が成り立つことを証明せよ (3)PB+PC＝PAが成り立つことを証明せよ という問題に取り組んでいます 図示してみて、ΔBPQとΔACQが相似であることはわかったのですが、それ以降(1)から(3)の式が一体どうすれば示せるのかがわかりません。 何か特別な定理の証明なのでしょうか？ どういうところに着目すればいいのでしょうか？ 回答いただけると幸いです 宜しくお願いいたします

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • amanita
  • ベストアンサー率41% (59/141)
回答No.6

#1です。寝付けないので戻ってきました。 #3さん、#4さん、ご回答ありがとうございます。 それでは僭越ながらまとめを・・・。 (1)・(2)とも、およそ幾何の問題とは思えない式の形をしているので、 両辺にいろんな値を掛けたり割ったりして、なんとかイメージしやすい 形に式を変形する努力をする。 そうすると、なんとなく(1)ではPQ・PB+PQ・PC=PB・PC、 (2)ではAP/AB＝AB/AQという形が見えてくる。 すると(1)は、線分の掛け算だから、「面積の問題だ～」 (2)は線分の割り算だから「相似形の問題だ～」という直感が働く。 あとは試行錯誤。 (3)はそのまんま幾何の問題のような式の形をしているから 図形上でPAからPBなりPCの長さを切り取ってみて適当に補助線を 引いてみる・・・。 というところが解答のポイントということでよろしいでしょうか？ いやー、中年脳にはなかなかきつい問題でした。 息子が大きくなって、こんな質問をするようななったら、答えられるかな？ 日ごろから頭は回転させておかなければいけないということを 痛感しました。

DcSonic
質問者

お礼

3人の方々回答ありがとうございました。 おかげでさっぱりわからなかったものが一気にわかりました。 本当にありがとうございました

その他の回答 (5)

回答No.5

No4です。(3)の別解も。 トレミーの定理を使います。 四角形ABPCは円に内接しているので、 AC・BP＋AB・PC=AP・BC が成立します。 更に今、うれしいことに三角形ABCは正三角形なので AB=BC=CA も成立するので、 PB+PC＝PA がでてきました。

回答No.4

(1)の別解です。 No3さんがおっしゃるように∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＝60° すると当然∠BPC=120° ここで与式の分母を全てはらうとPQ・PB+PQ・PC=PB・PC、これを示したらいいのです。 図を見ると、この式からは三角形の面積を考えろ～と言われてるように思えました。 実際に 三角形BPC=1/2PB・PC・sin120° 三角形BPQ=1/2PB・PQ・sin60° 三角形PCQ=1/2PQ・PC・sin60°　 また、三角形BPC=三角形BPQ+三角形PCQ より簡単にPQ・PB+PQ・PC=PB・PCがでてきます。

  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.3

じゃあ（１）を。長い。 円周角の定理から、∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＝60°でＰＱは∠ＢＰＣの 二等分線になるから、ＱＢ：ＱＣ＝ＰＢ：ＰＣ　となる。 ※このことは三角形の二等分線と辺の間に成り立つ性質ですから要確認。 ここで、定数ｋを使うと、ＱＢ＝ｋＰＢ、ＱＣ＝ｋＰＣ・・（１） となり、正三角形だから、 　　ＢＣ＝ｋＰＣ＋ｋＰＢ＝ＣＡ・・（２） 次に、△ＢＰＱ∽△ＡＣＱより対応する辺の比をとって、 　ＰＢ：ＣＡ＝ＰＱ：ＱＣ ここに（１）（２）を代入すると、ＰＢ：(ｋＰＣ＋ｋＰＢ)＝ＰＱ：ｋＰＣ よって、ｋＰＱ(ＰＣ＋ＰＢ)＝ｋＰＢ・ＰＣ すると、　ＰＱ・ＰＣ＋ＰＱ・ＰＢ＝ＰＢ・ＰＣ 両辺をＰＱ・ＰＣ・ＰＢで割ると、 　　　　　１/ＰＢ＋１/ＰＣ＝１/ＰＱ と、全部書いたけど、削除ですかね・・ 誰か（２）を

  • amanita
  • ベストアンサー率41% (59/141)
回答No.2

#1です。 （２）もできたような気が・・・。 △ＡＢＱ、△ＡＢＰにおいて、 角ＢＡＰ（角ＢＡＱ）は共有 角ＡＰＢ＝角ＡＢＱ＝６０度ゆえ両者は相似 ゆえにＡＰ／ＡＢ＝ＡＢ／ＡＱ この両辺にＡＢとＡＱを掛けると ＡＱ・ＡＰ＝ＡＢ＾２ すみません。どなたか（１）がわかるかた、よろしくお願いします。 もう寝ます。

  • amanita
  • ベストアンサー率41% (59/141)
回答No.1

いやー、難しいですね。 頭の体操のつもりで、25年ぶりに幾何の問題にチャレンジしてみましたが、なかなかわかりません。 でも、とりあえず（3）はできたような気がします。 ＰＡ上のＰＢ＝ＰＲとなる点をＲとする。 ＰＡ上のＰＢ＝ＰＳとなる点をＳとする。 すると、△ＢＰＲと△ＣＰＳは正三角形になる。 △ＡＢＲと△ＡＣＳは合同ゆえ、ＡＳ＝ＢＲ ところがＢＲ＝ＢＰ＝ＰＲ またＰＳ＝ＰＣ ゆえにＰＡ＝ＡＳ＋ＰＳ＝ＰＢ＋ＰＣ

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 平面幾何

    正三角形ABCの辺BC上に点B、Cと異なる任意の点Qをとり、直線AQが正三角形ABCの外接円と交わる点をPとする。 (1)1/PB＋1/PC＝1/PQ　が成り立つことを示せ。 (2)AQ・AP＝AB^2　が成り立つことを示せ。 (1)相似をつかってとこうとしたらつまずいてしまいます・・・・どうしたらよいでしょうか？ (2)接線であることをどう説明してよいか・・・・・ ヒントだけでもいいので、教えてください。

  • 中２　図形　証明問題

    夏休みの宿題です。ぜんぜんわかりません（涙）問題はこれです。 正三角形ABCの内部に点Pを取り、PBを一辺とする正三角形QBPと、PCを一辺とするRPCを作り、AQ、ARを引く。PQ=RAであることを証明しましょう。 という問題です。解答よろしくおねがいしまします。

  • 円に関する証明

    円周に接し正三角形ABCがあり弧BC上に点Pがあります。このときPA=PB+PCであることを証明するのですが、、 ヒントとしてAP上にPD=PCとなる点Dをとるとあります。 三角形PCDは二等辺三角形だから残りPBがADと同じを証明すればいいのかと思うのですが、、何の定理を使えばいいのかわからないのですが。図形を書けないので内容が分かっていただけるか心配です。頭抱えてますが、、。

  • 2等辺三角形の底辺上の点P

    幾何学の証明でわからないことがあります。 「2等辺三角形ABCの底辺BCの上の１点をPとすると、AB^2=AP^2+BP・PCである。」これを証明するとき、 △ABCの外接円とAPの延長との交点をQとすると、 AB^2=AP・AQ=AP(AP+PQ)=AP^2+AP・PQ=AP^2+BP・PC　と略解には書いてあります。しかし、AB^2=AP・PQがわかりません。方べきの定理かと思い。△ABPの外接円を考えたりしましたが、うまくいきませんでした。AP・PQ=BP・PCは方べきの定理だと思います。 どなたか、AB^2=AP・AQを解説してください。お願いします。

  • 幾何の証明問題を教えてください

    明日、学校で自分の書いた証明を発表しなければならないのですが、考えても解けません。 問題は次のようなものです。 「△ABCがあり、辺AB上にD、辺AC上にEをとる。そして直線BCと直線DEの交点をFとする。このとき、△ABC、△DBF、△ADE、△ECFの外接円4つは１点で交わることを証明せよ。」 先生の話ですと、この問題は「円に内接する四角形の性質と条件」などの定理を使って証明するそうです。円についての定理はまだ「円周角の定理とその逆」と「円に内接する四角形の性質と条件」くらいしか教わっていません。これらの習った範囲の中で、証明する方法を教えてください。よろしくお願いします。

  • 平面幾何の不等式

    AB＞ACである三角形ABCにおいて、Aから直線BC上に下ろした垂線AH上に点Aとは異なる点Pをとると、AB－AC＜PB－PCであることを証明せよ。

  • 中学生の幾何の証明問題です。

    中学数学図形の証明問題です。△ABCの内部に任意の点Pをとり、各頂点と線分で結びます。ただし、辺BCを最小の辺とします。このとき、AB+AC>AP+BP+CPとなることを証明せよ。という問題で悩んでいます。 問題は、点Pが三角形の内部の「任意の点」ということで、心やフェルマー点とは限らないことです。もし結論が、AB+BC+AC>AP+BP+CPならば以下のように証明できます。 △CABと△PABの関係に着目して、AC+BC>AP+BP。同様に、△PACでは、AB+BC>AP+CP。PACでは、AB+AC>BP+CPが成立します。各不等式の辺、辺を足して整理すると、AB+BC+AC>AP+BP+CPが成り立つことが証明できます。しかし、問題では左辺はAB+ACとなっていて、BCの処理ができません。恐らく、「最小の辺をBCにする」というところが引っ掛かって来るのだろうと思います。 三角形の内部の点がフェルマー点であれば、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1162666096で回答されているように証明が可能だと思うのですが、任意の点ではこの方法は使えません。 中学生でも証明できる方法を探しています。 どなたかご教授いただけないでしょうか。

  • △ABTの外接円において、点Tで接線を引く・・・・

    △ABTの外接円において、点Tで接線を引く。BAの延長線とこの接線の交点をRとする。AB=5、RT=6とし、この接線上にTについてRの反対側に、TQ=4なる点Qをおき、AQとBTの交点をP、PRの延長線とBQの交点をSとする。 このとき、 AR=4、QS/SB=8/15、AP/PQ=5/6、△ATP/△BPQ=□である。 □の部分をお願いします！

  • ベクトルの問題です。

    ベクトルの問題です。 三角形ABCの内部の点Pが 5PA+4PB+3PC=0 を満たしている。（→は省略） 直線APとBCの交点をQとする場合、線分の長さの比AP:AQを求めよ。 連立方程式を組むのは分かるのですが、どこから始めていいか分かりません。 おねがいします＞＜。

  • 平面幾何　アポロニウスの円　軌跡

    2つの点A,Bからの距離の比が1：2である点Pの軌跡をもとめよ。の後半の証明、条件を満たす図形上のすべての点は、2つの点A,Bからの距離の比が1：2である。がわからなくて質問します。 (1)△PABにおいて、頂角∠Pとその外角の2等分線が直線ABと交わる点をC,Dとすると、PA:PB=1：2であることと、角の２等分線と比の定理から、点PはC,Dを直径の両端とする円周K上にある。 (2)C,DはPに対する条件を満たしている。円周K上にC,Dと異なる任意の点Pをとる。 A,Bから直線PCへ垂線AQ、BRを下すと、ここからがわかりません。 DPとAQとRBが平行だから、QP/PR＝AD/DB=1/2 自分は、３本の平行線に２直線がハの字の交わるときの線分の比が、３本の平行線に２直線が×の字の交わるときも成り立つと考えたのですが、 どなたか、DPとAQとRBが平行だから、QP/PR＝AD/DB=1/2を解説してください。また２直線が×の字の交わるときの考えは、あっているのかも教えてください。お願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する