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平面幾何
△ABCの辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとし、辺BE、CDの交点をGとする。 4点D,B,C,Eが同一円周上にあるとき、以下のことを証明せよ。 (1)AB=AC (2)2∠ABG=∠BAEのとき∠BAG=∠ABG (3)(2)の条件を満たすとき△ABCは正三角形である この問題を解いているのですが、 (1)でAB=ACを示すことはBD=CEを示すことで、△BCDと△CBEが合同であることを利用して証明してみました (2)からがわからなくて困っています。 △ABGが二等辺三角形であることを示すのでしょうか?もしそうだとした場合どのように示せばいいのでしょうか? 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします
- cyvyc
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(2) 円周角とBD=CEから△BDG≡△CEG、これよりDG=GE。 これとAD=AE、AG共通から△ADG≡△AEG、 よって∠DAG=∠EAG即ちAGは∠DAEを二等分する。 2∠ABG=∠BAE=∠DAE=2∠DAG=2∠BAGから∠BAG=∠ABG (3) △ABGはAG=BGなる二等辺三角形だから、GA=GB、∠GAD=∠GBD これとAD=DBより△GAD≡△GBD、よって∠GDA=∠GDB=90度 これとAD=DB、CD共通より△CAD≡△CAB、よってAC=BC これとAB=ACよりAB=AC=BCとなり△ABCは正三角形。
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- debut
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△BC Dと△C BEの合同をどのように証明したのか わからないので、次の問題への流れで勝手に書きます。 1. 仮定から、 ∠DBE=∠DC E・・・(1) ∠DC B=∠DEB・・・(2) ∠EDC =∠EBC・・・(3) 中点連結定理より、 ∠DC B=∠EDC・・・(4) (2)(3)(4)より、 ∠DC B=∠EBC・・・(5) ∠DBC=∠DBE+∠EBC ∠EC B=∠DC E+∠DC Bなので、 (1)(5)より、 ∠DBC=∠EC B よって、AB=AC 2. (5)より、△GBC は二等辺三角形なので、 GB=GC・・・(6) △ABGと△AC Gにおいて、 前問の結果のAB=ACと、(6)、およびAGは 共通なので、△ABG≡△AC G よって、∠BAG=∠C AG 2∠ABG=∠BAEなので、∠BAG=∠ABG
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