平面幾何

質問

△ABCの辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとし、辺BE、CDの交点をGとする。
4点D,B,C,Eが同一円周上にあるとき、以下のことを証明せよ。
(1)AB=AC
(2)２∠ABG＝∠BAEのとき∠BAG＝∠ABG
(3)(2)の条件を満たすとき△ABCは正三角形である

この問題を解いているのですが、
（１）でAB=ACを示すことはBD=CEを示すことで、△BCDと△CBEが合同であることを利用して証明してみました
（２）からがわからなくて困っています。
△ABGが二等辺三角形であることを示すのでしょうか？もしそうだとした場合どのように示せばいいのでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

rtz · ベストアンサー

(2)
円周角とBD=CEから△BDG≡△CEG、これよりDG=GE。
これとAD=AE、AG共通から△ADG≡△AEG、
よって∠DAG＝∠EAG即ちAGは∠DAEを二等分する。
2∠ABG＝∠BAE＝∠DAE＝2∠DAG＝2∠BAGから∠BAG＝∠ABG

(3)
△ABGはAG=BGなる二等辺三角形だから、GA=GB、∠GAD＝∠GBD
これとAD=DBより△GAD≡△GBD、よって∠GDA＝∠GDB＝90度
これとAD=DB、CD共通より△CAD≡△CAB、よってAC=BC
これとAB=ACよりAB=AC=BCとなり△ABCは正三角形。

回答No.2

debut

△ＢＣ Ｄと△Ｃ ＢＥの合同をどのように証明したのか
わからないので、次の問題への流れで勝手に書きます。
1.
仮定から、
∠ＤＢＥ＝∠ＤＣ Ｅ・・・(1)
∠ＤＣ Ｂ＝∠ＤＥＢ・・・(2)
∠ＥＤＣ ＝∠ＥＢＣ・・・(3)
中点連結定理より、
∠ＤＣ Ｂ＝∠ＥＤＣ・・・(4)
(2)(3)(4)より、
∠ＤＣ Ｂ＝∠ＥＢＣ・・・(5)
∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＥ＋∠ＥＢＣ
∠ＥＣ Ｂ＝∠ＤＣ Ｅ＋∠ＤＣ Ｂなので、
(1)(5)より、
∠ＤＢＣ＝∠ＥＣ Ｂ
よって、ＡＢ＝ＡＣ
2.
(5)より、△ＧＢＣ は二等辺三角形なので、
ＧＢ＝ＧＣ・・・(6)
△ＡＢＧと△ＡＣ Ｇにおいて、
前問の結果のＡＢ＝ＡＣと、(6)、およびＡＧは
共通なので、△ＡＢＧ≡△ＡＣ Ｇ
よって、∠ＢＡＧ＝∠Ｃ ＡＧ
２∠ＡＢＧ＝∠ＢＡＥなので、∠ＢＡＧ＝∠ＡＢＧ