平面幾何 アポロニウスの円 軌跡

質問

2つの点A,Bからの距離の比が1：2である点Pの軌跡をもとめよ。の後半の証明、条件を満たす図形上のすべての点は、2つの点A,Bからの距離の比が1：2である。がわからなくて質問します。
(1)△PABにおいて、頂角∠Pとその外角の2等分線が直線ABと交わる点をC,Dとすると、PA:PB=1：2であることと、角の２等分線と比の定理から、点PはC,Dを直径の両端とする円周K上にある。
(2)C,DはPに対する条件を満たしている。円周K上にC,Dと異なる任意の点Pをとる。
A,Bから直線PCへ垂線AQ、BRを下すと、ここからがわかりません。
DPとAQとRBが平行だから、QP/PR＝AD/DB=1/2
自分は、３本の平行線に２直線がハの字の交わるときの線分の比が、３本の平行線に２直線が×の字の交わるときも成り立つと考えたのですが、
どなたか、DPとAQとRBが平行だから、QP/PR＝AD/DB=1/2を解説してください。また２直線が×の字の交わるときの考えは、あっているのかも教えてください。お願いします。

回答No.2

noname#232123 · ベストアンサー

三角形PAQ∽三角形PBR であり相似比は１：２であるからです。
なお掲載された図において、直線ＰＢが円の接線のように書いていますが、必ずしも接線ではありません。

お礼

お返事のおかげで、教科書より手短に、結論を証明することができました。
ありがとうございます。

回答No.1

asuncion

＞2つの点A,Bからの距離の比が1：2である点Pの軌跡をもとめよ。
と言っておきながら
＞円周K上にC,Dと異なる任意の点Pをとる。
こうするのはありなんでしょうか。

お礼

証明の方法に詳しくないので、教科書をそのまま覚えるようにしていますが、
証明の手順に注意するようにします。ご指摘ありがとうございます。