- ベストアンサー
幾何の証明問題を教えてください
明日、学校で自分の書いた証明を発表しなければならないのですが、考えても解けません。 問題は次のようなものです。 「△ABCがあり、辺AB上にD、辺AC上にEをとる。そして直線BCと直線DEの交点をFとする。このとき、△ABC、△DBF、△ADE、△ECFの外接円4つは１点で交わることを証明せよ。」 先生の話ですと、この問題は「円に内接する四角形の性質と条件」などの定理を使って証明するそうです。円についての定理はまだ「円周角の定理とその逆」と「円に内接する四角形の性質と条件」くらいしか教わっていません。これらの習った範囲の中で、証明する方法を教えてください。よろしくお願いします。
- izyi
- お礼率100% (4/4)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
この問題では、例えばDEがBCと平行だとDEとBCが交わらず、問題が 成立しなかったりしますが、取り敢えず図の通りに、BCとDEが直線BC上 BCをC側に延長した方で交わるとしましょう。 いま、円ADE（ADEの3点を通る円の意味だとします）と円ECFは2点で 交わり、その内1点は明らかにEですがもう一点をGとします。 ＊円ADEGにおいて円周角の性質から 角AGD = 角AED 角DGE = 角DAE ＊同様に円ECFGにおいて 角EGC = 角EFC 角CGF = 角CEF 対頂角の関係から角CEF = 角AEDだから 角CGF = 角AGD よって 角AGC = 角AGD + 角DGE + 角EGC = 角AED + 角DAE + 角EFC = 角BDE + 角EFC = π - 角ABC よって4点ABCGは同一円周上にある 又 角DGF = 角DGE + 角EGC + 角CGF = 角DGE + 角EGC + 角AGD = 角AGC = π - 角DBF より4点DBFGは同一円周上にある よって、4円は全て点Gを通ることが分かります。
関連するQ&A
- 円周角を利用した証明
△ABCが円に内接している。弧AB、弧ACの中点をそれぞれM,Nとし、弦MNと辺AB,ACの交点をそれぞれD,Eとするると△ADEは二等辺三角形であることを証明せよ この問題に取り組んでいます。 目標は∠ADE＝∠AEDを示すことだと思ったので、円周角の定理を利用して証明したいと考えたのですが、うまく結びつけることができません。 回答いただければ幸いです。 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面図形（三角形の内接円、外接円、傍接円）の問題を教えてください。
ΔABC の内接円の中心を I とする。 また、ΔABC の傍接円のうち、辺BC と接するものの中心を J とする。 さらに、ΔABC の外接円と線分 IJ の交点を D とするとき、 (1) ID=DB が成り立つことを示せ。 (2) 4点 I,B,J,C が点 D を中心とする1つの円の周上にあることを示せ。 という問題です。 内心、傍心の性質、円周角の定理などを使って、 ∠DBI=∠DIB を示せばよいということですが、どうにもできません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題
三角形ＡＢＣにおいてＡＢ＝４、ＢＣ＝６、ＣＡ=５とする cosAは（ ）である sinAは（ ）である 三角形の面積は、（ ）である。 これより、三角形の内接円の半径Ｒとすると、Ｒ＝（ ）である。 内接円と辺ＡＢとの接点DとするとＡＤ＝（ ）である。 同様に内接円と辺ＡＣとの交点をＥとする。 △ＡＤＥと面積は、△ＡＢＣの面積の（ ）倍である。 内接円の中心をＯとする。直線ＣＯと辺ＡＢとの交点をＰ、直線ＢＯと辺ＡＣとの交点をＱとすると、 △ＡＰＱの面積は、△ＡＢＣの面積の（ ）倍である。 この問題の穴に入る答えをわかりやすく教えて下さい。 できれば、計算の過程のお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 平面幾何 証明問題 （円・三角形）
正三角形ABCの辺BC上に点B、Cと異なる任意の点Qをとり、直線AQが正三角形ABCの外接円と交わる点をPとする。 (1)1/PB+1/PC=1/PQ が成り立つことを証明せよ (2)AQ・AP＝AB^2 が成り立つことを証明せよ (3)PB+PC＝PAが成り立つことを証明せよ という問題に取り組んでいます 図示してみて、ΔBPQとΔACQが相似であることはわかったのですが、それ以降(1)から(3)の式が一体どうすれば示せるのかがわかりません。 何か特別な定理の証明なのでしょうか？ どういうところに着目すればいいのでしょうか？ 回答いただけると幸いです 宜しくお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中学校幾何の証明
あるサイトに、「対角線ＡＣとＢＤの交点をＯとし、辺ＡＢ上の任意の点Ｐと点Ｄを結び、対角線ＡＣとの交点をＱとおく。線分ＢＱと線分ＰＯの交点をＲとし、直線ＡＲと辺ＢＣの交点をＭとおく。このとき、点Ｍは、辺ＢＣの中点である。」とあり、 「チェバの定理により、 ＡＰ／ＰＢ×ＢＳ／ＳＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１（ＳはＢＯとＡＭの交点） メネラウスの定理により、 ＡＰ／ＰＢ×ＢＤ／ＤＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１ よって、 ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２ このことから、Ｓは線分ＢＯを、２ ： １ に内分する点である。 △ＡＢＣにおいて、点Ｏは辺ＡＣの中点であるので、Ｓは△ＡＢＣの重心となる。 したがって、中線ＡＳと辺ＢＣの交点であるＭは、辺ＢＣの中点となる。」 と証明も書いてあったのですが、ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２になる理由と、Ｓが△ＡＢＣの重心となる理由が分かりません。非常に分かりにくい説明になってしまいましたが、どなたかご解答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形についての問題を教えてください。
三角形ABCがあり、AB=５、BC=６、cosA＝１/８である。 (１)辺Aから直線BCに垂線を引き、交点をHとするとき、線分AHの長さを求めてください。 また、三角形ABCの外接円の中心をO,直線AOと直線BCの交点をDとするとき。OD/ADの値を求めてください。 これを解いてみたのですが、まずは辺ACの長さを余弦定理より ６(二乗)＝ｘ(二乗)＋５(二乗)－２×ｘ×５×１/８ これを解くと、 ８ｘ(二乗)－１０ｘ－８８＝０ ４ｘ(二乗)－５ｘ－４４＝０ （４ｘ＋１１）(ｘ－４)＝０ AC＞０より AC＝４ また、余弦定理よりcosB＝(５(二乗)＋６(二乗)－４(二乗))/２×５×６ これを解くと、３/４になります。 よってＡＨ＝5sinB＝５×(√７/４)＝５√７/４になりました。 しかし後半の、三角形ABCの外接円の中心をO,直線AOと直線BCの交点をDとするとき。OD/ADの値を求める問題がどうしてもわからないので教えてもらえないでしょうか？ できれば、途中式も含めてわかりやすく教えてもらえると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角形の図形問題（算数）
問題 線CDは三角形ABCの底辺に水平である。台形DBCEの対角線の交点をFとする。この時、三角形ABFと三角形ACFの面積が等しいことを証明しなさい。 三角形DBFと三角形ECFの面積は等しいので、三角形ADFと三角形AEFの面積が等しいことを証明すればいいと思います。でもなにか違うように感じます。問題の聞き間違えなのか、条件が足りないのかわかりません。 お分かりになる人がいらっしゃいましたら、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形についての問題を教えてください。
三角形ABCがあり、AB=５、BC=６、cosA＝１/８である。 (１)sinAの値を求めてください。また、三角形ABCの外接円の半径を求めてください。 (２)辺ACの長さを求めてください。 (３)辺Aから直線BCに垂線を引き、交点をHとするとき、線分AHの長さを求めてください。 また、三角形ABCの外接円の中心をO,直線AOと直線BCの交点をDとするとき。OD/ADの値を求める問題を解いてみると、 (１)sin(二乗)A＋cos(二乗)A=1より sin(二乗)A＝1-(1/8)(二乗） ＝1-1/64 ＝63/64 sinA>0より sinA＝3√7/8 外接円の半径をRとする、 2R＝a/sinA 2R＝6/3√７/8 R＝6÷(2×3√７/8) ＝6÷6√7/8 ＝8/√７ ＝８√７/7 (2)余弦定理より AC(二乗)＝BC(二乗)＋AB(二乗)－２×BC×AB×cosA ＝６(二乗)＋５(二乗)－２×６×５×1/8 ＝３６＋２５－３０ ＝４ AC＞０より AC＝２まではなんとかできたのですが、ここから解らないので教えてもらえませんか？ 途中式も含めてわかりやすく教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
確かにDEとBCが平行でないということなどを言及していなくて論理的不備でした。図に依存しすぎたところがあったようです。 そして、分かりやすい解説をどうもありがとうございます。とても助かりました。