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平面図形(三角形の内接円、外接円、傍接円)の問題を教えてください。

ΔABC の内接円の中心を I とする。 また、ΔABC の傍接円のうち、辺BC と接するものの中心を J とする。 さらに、ΔABC の外接円と線分 IJ の交点を D とするとき、 (1) ID=DB が成り立つことを示せ。 (2) 4点 I,B,J,C が点 D を中心とする1つの円の周上にあることを示せ。 という問題です。 内心、傍心の性質、円周角の定理などを使って、 ∠DBI=∠DIB を示せばよいということですが、どうにもできません。 よろしくお願いします。

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  • debut
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図に印を入れながら読んでください。 (1) 弧CDの円周角なので、∠CAD=∠CBD・・・(ア) ∠DIB=∠BAI(∠BAD)+∠IBA・・・(イ) ∠DBI=∠CBD+∠CBI・・・(ウ) 仮定から∠CAD=∠BAD、∠CBI=∠IBAなので (ウ)は、∠DBI=∠CAD+∠IBAとなり ∠DIB=∠DBI  よってID=DB (2) 仮定から∠IBJ=90°(内角の二等分の1/2と外角の二等分の1/2) 同様に、∠ICJ=90°。 四角形BJCIは、対角の和がそれぞれ180°なので円に内接する。 直径の弧に対する円周角は90°であるから、IJが円の直径であり (1)からDはその中心となる。

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質問者からのお礼

ありがとうございます! なるほど、∠IBJ と ∠ICJ は (内角の二等分の1/2と外角の二等分の1/2) で、90°になるのですね。 それで、円に内接するということになるのですね。 また、よろしくお願いします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • debut
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No2です。 書き方間違ってましたー。 誤)(内角の二等分の1/2と外角の二等分の1/2) 正)(内角の二等分と外角の二等分の和) でした。(1/2、1/2の気持ちが先行したもんで・・・) すみませんでした。

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  • 回答No.1

以前に同じ問題に答えたことがある。面倒なので、URLを貼っとく。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5141261.html >(2) 4点 I,B,J,C が点 D を中心とする1つの円の周上にあることを示せ。 (1)が分れば直ぐ分るだろう。

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質問者からのお礼

ありがとうございます! 教えていただいたURLと(1)は同じなのですね。 同様にして、DI=DC は証明できたのですが、恥ずかしながら DP(DJ) と等しいことを証明する方法がまだわからないです。。

質問者からの補足

わかってきました(笑) ありがとうございます。 また、よろしくお願いします。

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