図形の問題（正三角形に内接する円）

質問

1辺が6センチの正三角形ABCに内接する円の中心をPとする。

Pから辺BCへの垂線を下ろした点をHとすると
PHは何センチですか？

答えが√３なのですが、求め方が分かりません。
どのような公式、条件があるのでしょうか？すいませんが教えていただけないでしょうか？

回答No.2

springside · ベストアンサー

三角形の内接円の問題は、まず「面積」に着目してみましょう。

Pから、AB,ACへ下ろした垂線の足を、それぞれD,Eとします。
PD,PEは内接円の半径ですから、PH=PD=PEで、これをrと置きます。（rは、△APB,△BPC,△APCの「高さ」になっていることがわかります。）

△ABCは、△APB,△BPC,△APCの３つに分割されますが、その面積は全て同じで、
　△APB=△BPC=△APC = (1/2)×6×r=3r
となります（底辺が6で高さがrだから）。

一方、△ABCの面積は、
　(1/2)×6×3√3 = 9√3
です（底辺が6で高さが3√3だから）。

ここで、面積を考えると、
　△ABC = △APB+△BPC+△APC
なので、
　9√3 = 3r+3r+3r
です。

よって、r=√3となります。

お礼

なるほど。理解できました。丁寧で分かりやすかったです。ありがとうございます。

回答No.3

tarame

△ＢＨＰに注目しましょう
Ｂ＝30°,Ｐ＝60°Ｈ＝90°の直角三角形ですから
BP：PH：HB＝2:1:√3 になります
BH＝BC/2＝3 だから
PH＝x とおくと、BP＝2x
あとは、三平方の定理を使って
x＝√3

お礼

ありがとうございます！ようやく理解できました。

回答No.1

urazen-sie

HB = 3
AH~2 = 6~2 - 3~2 = 27
AH = 3√3
PH = x とすると
PB = 3√3 - x
(3√3 - x )~2 = x~2 + 3~2
27 - 6√3 x + x~2 = x~2 + 9
6√3 x = 18
X = √3

簡単な説明ですが、参考程度に・・・

お礼

二乗と使った式でしょうか？ありがとうございました。