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三角形と内接円・内心

三角形ABCにおいて、AB=7、BC=3である。この三角形の内心をIとする。AIの延長と辺BCとの交点をDとし、BIの延長と辺ACとの交点をEとする。4点C,E,I,Dは同一円周上にある。 1)角BCAの大きさ及び、線分CAの長さを求めよ。 2)BDの長さ及び、BI*BEの値を求めよ。 3)三角形ABCの内接円の半径を求めよ。 以上が問題です。三辺や二辺+一角が与えられた内接円関連の問題は解いたことがあるのですが、条件が二辺ではどのようにしたらよろしいでしょうか?

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  • R_Earl
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どこまで自力で解けて、どこが解けなかったのでしょうか? あるいはどれなら分かりそうで、どれが分からないのでしょうか? > 三辺や二辺+一角が与えられた内接円関連の問題は解いたことがあるのですが、 > 条件が二辺ではどのようにしたらよろしいでしょうか? 1番が解ければ「三辺 + 一角が与えられた内接円問題」になりますよね。 だから(1)を何とか解けば良いんです。 > 1)角BCAの大きさ及び、線分CAの長さを求めよ。 [1] 三角形の3つの角に対して二等分線を引いた時、 その交点が内心となります。 なので線分ADは∠BACの二等分線ですし、 線分BEは∠CBAの二等分線です。 [2] 「4点C,E,I,Dは同一円周上にある」という条件から、 ∠ECD + ∠EID = 180° ∠CEI + ∠CDI = 180° となります。 [3] [1][2]の条件から∠BCAが求められます。 ∠BCAが分かれば余弦定理でCAの長さが分かります。 方針ですが、まず[1]より ∠BAC = 2x(つまり∠CAD = x, ∠DAB = x)とおき、 ∠CBA = 2y(つまり∠CBE = y, ∠EBA = y)とおいて下さい。 そしてこのx, yを使って四角形CEIDの角度を表してみましょう。 四角形CEID内のの「向いあう2角」がx, yで表現できれば、 [2]の条件からx, yの関係式が得られます。 それを利用すると、△IABの内角の和を利用して∠AIBの角度が求められます。 ∠AIBが分かればそれを元に∠BCAが求められます > 2)BDの長さ及び、BI*BEの値を求めよ。 「角の二等分線と線分の比の公式」を利用すればBDは求められそうです。 BI*BEは四角形CEIDの各頂点が同一円周上にあることに注目して下さい。 そうすると、どうやって求めれば良いか見当がつきます (なぜわざわざ「BI*BE」としているのかを考えるのも良いかもしれません。 この形、どこかで見たことありませんか?)。 > 3)三角形ABCの内接円の半径を求めよ。 内接円関係ではよくでる問題ですよね。 こちらは解説無しでも大丈夫でしょうか?

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質問者からのお礼

>1番が解ければ「三辺 + 一角が与えられた内接円問題」になりますよね。 >だから(1)を何とか解けば良いんです。 全くそのとおりでして、おかげさまで1)ができた後は 2)3)とスムースに進みました。 大変丁寧な回答をありがとうございました。

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