高校数学の周長を求める問題です 3-3
1辺の長さ1の正三角形ABCがある 各辺AB,BC,CA上に点P,Q,Rをとる △PQRの周長を最小に
するにはP,Q,Rをどのような位置にすればよいか
解説は右図のように点Qの直線AB,ACに関する対称点をそれぞれQ',Q''とするとPQ=PQ',RQ=RQ''であるから△PQRの周長をlとするとl=Q'P+PR+RQ''
Qを固定するとQ',Q''は定点であるからl>=Q'Q''であり
等号が成り立つのはP,Rが直線Q'Q''上にあるときである(1) いま、BQ=xとおくと,
QQ'=√3x,QQ''=√3(1-x)
∠Q'QQ''=120°であるから、余弦定理よりQ'Q''^2=3x^2+3(1-x)^2-6x(1-x)cos120°
=3(x^2-x+1)これはx=1/2すなわちQが辺BCの中点のときに最小となり、このとき上の、(1)の等号成立条件はPが辺ABの中点でRが辺CAの中点であることである 以上により△PQRの周長を最小にするにはP,Q,Rを各辺の中点にすればよい
ということなのですがQを固定するとQ',Q''は定点であるからl>=Q'Q''でありとありますが、何故lがQ'Q''以上になるのか分かりません
後は(1)の等号成立条件はPが辺ABの中点でRが辺CAの中点であることであるとありますが、何故
Pが辺ABの中点でRが辺CAの中点であることが等号成立条件になるのか分かりません
