数学です

質問

原点Oを中心とする半径r(r>0)の円に外接する
三角形△ABCについて以下の問に答えよ.

内接円と3辺,AB,BC,CAとの接点をP,Q,Rとし,
∠POQ, ∠QORの大きさをそれぞれ
2x (0 < x < π)
2y (0 < y < π)
とするとき、△ABCの面積SはS = r^2(tanx + tany - tan(x+y))
と表されることを示せ.

Sが最小となるのはどのような三角形のときか?
また、その時のxとyの値,ならびにSの最小面積を求めよ.

という問題があるのですがどなたかわからないでしょうか?

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞Sが最小となるのはどのような三角形のときか?

xとyの変域が違うんじゃないか？　0 < x < π/2　、0 < y < π/2　の間違いだろう。それなら、0＜2x＜2π　0 < 2y < 2π　になってしまう。

∠ＰＯＲ＝2z とすると(0＜z＜π/2) x＋y＋z＝2π
よって、tan(x+y)＝-tan(2π-z)＝-tan*z　だから、tanx + tany - tan(x+y)＝tanx +tany＋tanz。
つまり、tanx +tany＋tanz　の最小値を求めると良い。
x+y+z＝π　から　x+y＝π-z　→　tan(x+y)＝tan(π-z)　→　(tanx＋tany)/(1-tanx*tany)＝-tanz
→　tanx＋tany＋tanz＝tanx*tany*tanz

tanx＝a、tany＝b、tanz＝c とすると、a＋b＋c の最小値を求めると良い。
それには、tanx＋tany＋tanz＝tanx*tany*tanzs＝k　とすると、a＞0、b＞0、c＞0、より相加平均・相乗平均より　a＋b＋c≧3(3)√abc　→　k≧3(3)√k →　k≧3√3　そのときa＝b＝c

以上より、最小値は　3√3*r^2 で　正三角形のとき。

お礼

ありがとうございます

回答No.3

mister_moonlight

自分が書き込みミスをしてる。。。。。ｗ

(誤)∠ＰＯＲ＝2z とすると(0＜z＜π/2) x＋y＋z＝2π
よって、tan(x+y)＝-tan(2π-z)＝-tan*z　だから

(正)∠ＰＯＲ＝2z とすると(0＜z＜π/2) x＋y＋z＝π
よって、tan(x+y)＝-tan(π-z)＝-tan*z　だから

お礼

ありがとうございます

回答No.1

alice_44

△ABC を、線分 OA, OB, OC, OP, OQ, OR で 6 個に分割して、
各小三角形の面積を求めれば、
S = { (1/2)(r^2)tan(x) + (1/2)(r^2)tan(y) + (1/2)(r^2)tan(π-x-y) }×2
であることが判ります。

後は、x, y について予選決勝法で、
二変数関数の最小値を求めるだけです。

お礼

ありがとうございます