三角形と内接円の問題

質問

△ABCとその内接円があり、内接円と辺BC、CA、ABとの接点をそれぞれD、E、Fとする。
(1)AF=ｘ、BD=ｙ、CE＝zとする。△ABCの面積Sと内接円の半径ｒをｘ、ｙ、ｚで表せ
(2)Iを内接円の中心とする。
　P＝（AB・BC・CA）/（AI・BI・CI）の最小値を求めよ。
ｘ、ｙ、ｚを正の数とすると不等式
（ｘ＋ｙ＋ｚ）/3　≧　ｘｙｚの三乗根
が成り立つことは用いてよい。

という問題に取り組んでいます。
(1)はヘロンの公式を利用して、
S＝√(xyz)(x+y+z)、ｒ＝√(xyz)/(x+y+z)
と一応なりました。

(2)なのですがAI、BI、CIなどをそれぞれ三平方の定理をもちいて出して代入してみると複雑でうまく計算できませんでした。何かいい方法はありませんでしょうか

回答いただけるとありがたいです。
宜しくお願いします

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

＞S＝√(xyz)(x+y+z)、ｒ＝√(xyz)/(x+y+z)
S＝√{(xyz)(x+y+z)}、ｒ＝√{(xyz)/(x+y+z)}
で合っています。

(2)P＝(x+y)(y+z)(z+x)/√{(x^2+r^2)(y~2+r^2)(z^2+r^2)}

√があるので２乗して計算します。計算式の対称性と因数分解を間違えなければいいかと思います。
がんばってください。
P^2
＝{(x+y)(y+z)(z+x)}^2/{(x^2+r^2)(y~2+r^2)(z^2+r^2)}
＝{(x+y)(y+z)(z+x)}^2・(x+y+z)^3/[xyz{(x+y)(y+z)(z+x)}^2]
＝(x+y+z)^3/(xyz) (相加平均≧相乗平均より)
≧27xyz/(xyz)＝27
（等号はx=y=0の時）

後はPのルートを取れば最小値が求まりますね。

回答No.2

oyaoya65

#1です
補足訂正します。
相加平均≧相乗平均の関係
＞x,y,zを正の数とすると不等式
＞(x＋y＋z)/3　≧　(xyz)^(1/3)
これを両辺３倍して３乗すると
(x＋y＋z)^3 ≧ 27xyz
両辺を xyz＞0 で割ると
{(x＋y＋z)^3}/(xyz) ≧ 27
この関係を使い、以下のようにを訂正してください。

＞＝(x+y+z)^3/(xyz) (相加平均≧相乗平均より)
＞≧27xyz/(xyz)＝27
＞（等号はx=y=0の時）

＝(x+y+z)^3/(xyz) (相加平均≧相乗平均より)
≧27　（等号はx=y=zの時成立）

お礼

回答ありがとうございました。
おかげでやっとわかりました！