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外接円と内接円

もう一つ分からない問題があったので教えてください。 AB=ACである二等辺三角形ABCにおいてBC=2であり、頂点AからBCに下ろした垂線の長さが2であるとする。 このとき△ABCの外接円と内接円の半径を求めよ。 という問題です。 お願いします。

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akeboshiさん、こんばんは。 三角関数を使わないでやります。 まず、三平方の定理から、ABとACの長さを求めます。 AB^2=2^2+1^2=5=AC^2 なので、AB=AC=√5です。 まず、内接円の半径から求めます。 内心をIとすると、 △ABC=△ABI+△BCI+△CAI と3つに分割できます。 内心Iから、それぞれの辺AB,BC,CAまでおろした垂線の長さは等しいので (それがちょうど半径rになっているので) △ABCの面積は、 △ABC=底辺2×高さ2×(1/2)=2 △ABIの面積=底辺√5×高さr×(1/2) △BCI=底辺2×高さr×(1/2) △CAI=底辺√5×高さr×(1/2) ----------------------------------足すと △ABI+△BCI+△CAI=(√5+2+√5)r/2=2 これを解いて、r=2/(√5+1)=(√5-1)/2・・・答え 次に、外接円の中心をOとします。 外接円の半径はRとしましょう。 AO=BO=CO=R なので、△ABOは、二等辺三角形になっています。 さて、この面積は?? OからABにおろした垂線の足をHとします。 △AOHにおいて、三平方の定理を使うと、 AH^2+OH^2=AO^2 (√5/2)^2+OH^2=R^2 OH^2=R^2-(√5/2)^2とおけます。 すると、△ABOの面積は、 底辺をAB=√5 高さはOH=√{R^2-(√5/2)^2} なので、面積は √5×√{R^2-(√5/2)^2}×(1/2)・・・(1) また、底辺をAO=R 高さをBCの半分=1とみることもできるので、 面積はR×1×(1/2)・・・(2) (1)=(2)より、 R=5/4・・・答え のように求めることができます。 これらは、高校の数学ですと、三角関数を用いて求めることも可能です。 参考になればうれしいです。頑張って図を描いてみてくださいね!!

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丁寧な解説本当にありがとうございました。理解できました。

その他の回答 (4)

  • 回答No.4
noname#24477
noname#24477

条件から三平方の定理でもって辺の長さがわかります。 外接円の半径 正弦定理でa/sinA=2R を使います。 b/sinB=2R のほうがいいかな。 図からsinBがすぐ求まります。 sinAのほうが少し厄介です。 内接円の半径 面積S=(1/2)(a+b+c)r を使います。 面積はすぐ求まります。

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回答ありがとうございます。とても助かっています!

  • 回答No.3
  • ONEONE
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#2です。計算間違いしました。 「訂正」 ☆=★より r=2/(1+√5)=(√5-1)/2

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  • 回答No.2
  • ONEONE
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内接円の半径をrとすると △ABCの面積=(AB+BC+AC)×r/2 で表せます。 三平方の定理より AB=AC=√5とでますから △ABC=(2+2√5)r/2ーー☆ また 底辺×高さ×1/2より △ABC=2ーー★とでます。 ☆=★より r=1/(1+√5)=(√5-1)/4 頂点AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとおき、外心をOとおく。 外接円の半径をRとおくと △BOHに三平方の定理を用いて AH=2、AO=R、よりOH=2-R BO=R、BH=1 BO^2=BH^2+OH^2 R^2=1^2+(2-R)^2 R^2=1+4-4R+R^2 ∴R=5/4です

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回答ありがとうございます。参考になりました!

  • 回答No.1

akeboshiさんは高校生ですか? 中学生だと今から言うことは習っていないので、 また補足などでおっしゃってください。 三角形ABCの図をかきます。 AからBCに下ろした垂線の足をHとすると、 AH=2ですよね。 ∠AHB=90°でありBH=1なので 三平方の定理からAB=√5です。 ここでまず、内接円ですが、半径をrとすると 三角形の面積はS=r(a+b+c)/2ですよね。 三角形ABCの面積は底辺BC×高さAH÷2なので、 2×2÷2=2です。 a+b+c=2+√5+√5=2+2√5です。 よって2=r(2+2√5)÷2となり r=(√5-1)/2となります。 外接円の半径は正弦定理ですよね。 というわけでsin∠Aがほしいのですが、 まずは余弦定理でcos∠Aを求めます。 計算すると、cos∠A=3/5です。 sin∠A=√(1-cos^2∠A)=4/5です。 正弦定理で 2R=BC/sin∠Aなので、 R=4/5です。 正弦定理・余弦定理は少し省略しましたが、 どうでしょうか?

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