平面図形

質問

平面図形(円周角)の基礎だと思うのですが、図形問題が苦手で解けません。詳しく解説して下さい。
円Oの周上の動点Aと直径BCで作られる△ABCの頂角Aの2等分線が直径BC,および円周と交わる点をそれぞれD,Eとする。頂角Bの2等分線と線分ADの交点をPとし,BC=10とする。
(1)∠ABP=aとして,∠BPE,∠PBEをaを用いて表せ。

(2)EPの長さを求めよ。

上記の2問題を詳しく分かりやすく教えて下さい。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問の回答

>『△ABPで
>∠BPE=∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠BAE=a+45°』
>どうして∠ABPと∠BAPを足すと∠ABP+∠BAEになるのですか？
∠BAPと∠BAEは同じ角を書きかえただけです。
つまり
∠BAP=∠BAE
∠ABPを両辺に加えれば
∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠BAE
となりませんか?
この和が求める∠BPEであり、∠ABP=aと∠BAE=45°の和に等しい。
ということです。

>『∠PBE=∠DBP+∠CBE=∠ABP+∠CAE=a+45°(∵円周角)』
>こちらも、どうして∠DBPと∠CBEを足すと∠ABP+∠CAEになるのですか？
∠DBP=∠ABP(=a)（∵題意より）
∠CBE=∠CAE(=45°)(∵同じ弧の円周角）
この辺々を加えれば上の等式になりませんか？
その和を求めることが問題になっている。
そういうことです。

>最後に∠ABP+∠BAE(∠ABP+∠CAE)で、なぜ∠BPE(∠PBE)が分かるのでしょうか？

A#1の回答を、図を見ながら、よく読めば分かるはずです。
図の角「・」が45°で、同じ弧上の円周角の関係から∠CBE=∠CAE(=45°)であること。
また「x」の角は問題で「a」として与えられた角です。

「三角形の２つの頂角の和は他の頂角の外角に等しい」ということを忘れていませんか？
教科書に載っていると思いますので確認下さい。

お礼

有り難う御座いました。

回答No.5

KEIS050162

２）で求めたいのはＥＰですが、

１）の答えから△EBPが二等辺三角形になることが分かり、ＥＰ　＝　ＥＢ　であることが分かります。
なので、ＥＢを求めればそれが２）の答えになります。

即ち、この　１）　の問題が、　２）　の答えを求める方法の　”重要なヒント”　になっており、これが前に説明した、この問題を解く方針になります。　
（ここが理解出来れば、ＤＰとかＥＣが回答するために必要がないということが分かりますね？逆に、ＤＰやＥＣというのが出てくるということは、これが理解出来ていないということですよ。）

△ＥＢＣ　が　直角二等辺三角形　であることが分かれば、ＥＢとＢＣの辺の長さの比が分かります。三角比でも、三平方の定理からでも求めることが出来ます。

従って、求めたい　ＥＢ　（これは、ＥＰと同じ長さ）　と　ＢＣの比が　１：√２になるので、
あとは、ＢＣが１０のとき、ＥＢの長さがどうなるかを比の計算で求めるだけです。

　ＥＢ　：　ＢＣ　＝　１　：　√２　＝　？　：　１０
　ＥＢ　すなわち　？　は、　？　＝　１０／√２　＝　５√２

　ＥＢはＥＰと同じ長さですから、　ＥＰ　＝　５√２

となります。

お礼

有り難う御座いました。

回答No.4

KEIS050162

＃３です。

１）の方は色々書き間違いがありますが、わざわざ難しく考えなくても、直線も三角形の内角の和も１８０°、ということだけ理解すれば良いでしょう。三角形の外角の定理です。

∠ＢＰＥは×ではなく、×＋●ですよ。　なので、４５°　＋　ａ

２）　有利化については＃１さんが既に回答を書いています。合っています。
直角二等辺三角形の比も理解されている様です。

なのに、なぜ、「三角形比の値を分母に直径の長さを分子にというのは方針ですか？…√2/10にしても5√2になりますか？」という質問になるのかが分かりません。

ご自身がかかれている通り、比の計算をしたまでで、１：√２　＝　？　：　１０　であれば、？＝１０／√２　になるだけのことで方針とか決まりとかいうものではありません。

以上、は質問に対しての答えですが、こういった質問を見て、とても不安になりました。

円周角、三角比　というのは数ＩＡの範囲で、一般的には高校１年生（場合によっては中学３年生）で習うことです。これらはなんとなくは理解されたと様子ですが、今回質問されている部分は、小学校の算数のレベルです。三角形の内角、外角、比の計算などは、小学校の高学年で習得されていなければならないことで、円周角定理を説明するのと雲泥の差があるレベルの内容ですよ。

数学は、積み重ねですからその単元だけ、ひたすら丸暗記しても何にもなりません。公式・定理は丸暗記するものではありません。その意味、導き方を理解して、初めて習得したことになります。その上で次の単元に進まないと効率が悪いだけです。

中学数学の範囲だけでも良いので、一通り、じっくりと復習されることをお勧めいたします。

ご参考に。

お礼

有り難う御座いました。

補足

何度すみません。
１：√２＝？：１０の1と？って、どこの値ですか。
√2は、△EBCが直角二等辺三角形だから三角形比よりBCだと分かります！10は、問題でBC=10と有るので分かります。
1は、△EBCのBEとCEが1なので、どちらなのか教えて下さい。
？は、EPの長さですか。なぜ、EBCを求めるとEPが分かるのですか？
DPは、求めず良いのですか？

回答No.3

KEIS050162

すでに回答が出ているいますが、横から失礼します。

蛇足的とはなりますが、答えを出すには、問題の意図を良く理解された方が、頭に入りやすいと思います。ひたすらそれぞれの角度の算出方法などを細かく見るより、全体を見渡してみてください。

この問題は、ＢＣ＝１０　の時、ＥＰはいくつになるか？という答えを導き出すもので、
ご自身が書いている「円周角」の性質を用いて、
(1)△ＢＰＥが二等辺三角形になることから、ＥＰ＝ＢＥを示し、
(2)△ＥＢＣが直角二等辺三角形になることから、ＢＥ＝ＢＣ／√２で計算する、
というのが問題を解く方針となると思います。

まずは、円周角定理など円周角の性質を教科書でよく復習してみてください。
図の×印がａは問題文から明らかですが、●印が直角の半分になるところまでは、理解出来ますね？（ここまではしっかり自分で復習してみてください）

あとは、円周角定理から、∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＥ
これは●印の角なので、全部４５°です。

∠ＰＢＥは、４５°に×印、即ち　ａ　を足した角です。（図から明らかです。）

∠ＢＰＥは、１８０°から∠ＡＰＢを引いた角ということは、△ＢＰＡの内角の和が１８０°なので、●印（＝４５°）と×印を足したものと同じになります。（これが分からないとなると、相当重症ですが…）

なので、∠ＰＢＥと∠ＢＰＥは、両方×印＋●印、即ちａ＋４５°になり、△ＢＥＰが二等辺三角形になることが分かります。

次に、△ＥＢＣが直角二等辺三角形になることは、直径の円周角が直角になることと、残る二角のうち一方が４５°であることから説明をするまでもありませんね。

あとは、最初の方針通り、直角二等辺三角形の比を使って、ＥＰを求めるだけとなります。

詳しい式の記述は、＃１さんの通りです。

ご参考に。

お礼

有り難う御座いました。

補足

二点の質問が有ります！
一点目
「∠ＢＰＥは、１８０°から∠ＡＰＢを引いた角ということは、△ＢＰＡの内角の和が１８０°なので、●印（＝４５°）と×印を足したものと同じになります。」についてです。
jagatMjhの回答を自分なりに考えてみました。
∠BPE+∠APB=180゜で、
∠APBの∠Pは、三角形の和(180゜)から∠BAP(45゜)+∠APB(a)を引けば∠Pがでて∠BPE+∠APB=180゜から∠Pを引けば∠BPEのxが分かるという事ですか？

二点目
「(2)△ＥＢＣが直角二等辺三角形になることから、ＢＥ＝ＢＣ／√２で計算する、
というのが問題を解く方針となると思います。」についてです。
円周角は、中心角の半分より∠BECが直角とわかり(1)で∠CBEが45゜と分かるので自然と∠BCEも45゜と分かる。直角二等辺三角形の比よりb:c:e=1:1:√2、BC=10なので、10/√2になり有理化で5√2で合ってますか？
あと、三角形比の値を分母に直径の長さを分子にというのは方針ですか？見てやりにくいとは思うのですが、√2/10にしても5√2になりますか？

回答No.1

info22_

(1)
∠ABP=a
∠BAC=90°（∵BCは直径）
∠BAE=∠CAE=∠BAC/2=45°...(A)
△ABPで
∠BPE=∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠BAE=a+45°
∠PBE=∠DBP+∠CBE=∠ABP+∠CAE=a+45°(∵円周角)

(2)　
△BEPで
(1)より　∠BPE=∠PBE=a+45°であるから
△BEPは二等辺三角形
∴EP=BE ...(B)
△EBCで
BCは直径なので∠BEC=90°
(A)より　∠CBE=∠BCE=45°（∵円周角）
△EBCは直角二等辺三角形
∴BE:CE:BC=1:1:√2
BE=BC/√2=10/√2
(B)より
∴EP=BE=10/√2=5√2

補足

『△ABPで
∠BPE=∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠BAE=a+45°』
どうして∠ABPと∠BAPを足すと∠ABP+∠BAEになるのですか？

『∠PBE=∠DBP+∠CBE=∠ABP+∠CAE=a+45°(∵円周角)』
こちらも、どうして∠DBPと∠CBEを足すと∠ABP+∠CAEになるのですか？

最後に∠ABP+∠BAE(∠ABP+∠CAE)で、なぜ∠BPE(∠PBE)が分かるのでしょうか？
疑問が多くてすみません。どうしても理解して頭に入れたいので再回答よろしくお願いします。