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線分ABを直径とする円の円周上に三角形ABCの内接

線分ABを直径とする円の円周上に三角形ABCの内接円の半径が最大となるように点Cをとる。 このとき、三角形ABCは二等辺三角形になりますか?

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  • 回答No.2

はい。このことは簡単に示せます。 下の図(簡単にするため半径1の単位円で考えます)で、ABは円の直径なので三角形ABCは常に角ACBが直角の直角三角形です。したがって三角形ABCの面積をSとすれば、 S=AC・BC/2  です。 また三角形ABCの内接円の半径をrとすれば、S=(AC+BC+AB)r/2=(AC+BC+2)r/2 です。 両者は等しいので、(AC+BC+2)r/2=AC・BC/2 つまりr=AC・BC/(AC+BC+2) …(1) ここでAC>0、BC>0より相加相乗平均の関係から AC+BC≧2√(AC・BC) 平方して((AC+BC)^2)/4≧AC・BC  …(2) ただし等号はAC=BCのとき  (1)(2)より r=AC・BC/(AC+BC+2)≧((AC+BC)^2)/4(AC+BC+2)が成り立つ。 したがってrが最大になるのはAC=BCのとき、すなわち三角形ABCが2等辺三角形のとき このとき r=AC^2/2(AC+1) 単位円の場合 AC=BC=√2 だからr=√2-1

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
noname#227255
noname#227255

△ABCの内接円の半径をr、面積をSとすると、 S=(AB+BC+CA)r/2-(1) △ABCにおいて、線分ABは直径、∠ACBは直径に対する円周角であるから常に90° (BC+CA)^2=BC^2+2*BC*CA+CA^2=BC^2+CA^2+4S-(2) 三平方の定理から、BC^2+CA^2=AB^2 これを式(2)に代入すると、(BC+CA)^2=AB^2+4S→BC+CA=√(AB^2+4S) さらに、これを式(1)に代入すると、 S={AB+√(AB^2+4S)}r/2 これから、 1/r={AB+√(AB^2+4S)}/2S=AB/2S+√(AB^2/4S^2+1/S)-(3) 式(3)において、AB/2S、AB^2/4S^2、1/Sは、分母が増加関数で(S>0)、分子が定数であるから、これらはSの増加に伴って減少するので、Sが最大になるときに1/rが最小に、つまりrが最大になります。 Sが最大になるのは、△ABCにおいて底辺を線分ABとしたときに高さが最大(円の半径)になるときであり、点Cから線分ABに下した垂線の足が円の中心Oと一致し、AB⊥CO、CO=AB/2となって、 △ABCが、AC=BC(∵△ACO≡△BCO)、∠ACB=90°の直角二等辺三角形になるときです。

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  • 回答No.1
  • katun01
  • ベストアンサー率44% (15/34)

参考URLによると(図と文字のふり方も)、内接する三角形の面積が大きいほどrが大きくなりますよね。 三角形ABCの面積が最大化するのはお絵かき添付のように、三角形の底辺にあたる辺ABとCが一番離れた頂点にある時で、その時直角二等辺三角形になります。 しかし辺の長さabcにも影響を受けるのでココらへんを説明する必要があるかもしれませんね。

参考URL:
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1sc203.htm

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