三角形の図形問題（算数）

質問

問題
線CDは三角形ABCの底辺に水平である。台形DBCEの対角線の交点をFとする。この時、三角形ABFと三角形ACFの面積が等しいことを証明しなさい。

三角形DBFと三角形ECFの面積は等しいので、三角形ADFと三角形AEFの面積が等しいことを証明すればいいと思います。でもなにか違うように感じます。問題の聞き間違えなのか、条件が足りないのかわかりません。

お分かりになる人がいらっしゃいましたら、教えてください。

回答No.2

noname#227653 · ベストアンサー

線AFをのばした線と線BCが交わる点をGとします。するとこの図形は、三角形の三つの頂点から三本の線（線AG、線BE、線CD）を引き、それらが同じ点Fで交わる、というかたちになっていますね。こういう問題の場合は、三角形ABF、三角形BFC、三角形ACFの三つに分割して考えると解けることが多いのですが、ただ、具体的な数字を与えられずに「証明せよ」はちょっとやっかいですよね。中学受験の算数なら数字を当てはめて解いてもかまわないと思います。

例えば、ADとDBの長さの比を３：１とします。そうするとAEとECの長さの比も３：１です。これは相似ですぐにわかりますね。
そして、ADとDBの比が３：１なら、三角形ACFと三角形BCFの比も３：１になります（ここはおわかりになりますか。ここでは説明しませんが、わかりにくかったら補足をつけて下さい。再度投稿しますので）。算数では比の数字は○や□で囲むことが多いのですが、ここでは「　」や（　）を使うことにします。三角形ACFと三角形BCFの比は「３」：「１」です。
同様にAEとECの長さの比が３：１なら三角形ABFと三角形BCFの面積の比も（３）：（１）です。
そうしたら、この三つの三角形の比を出します。これは「比をそろえる」「連比」というもので、受験生なら誰でも知っていますね。三角形ACFと三角形BCFの比が「３」：「１」、三角形ABFと三角形BCFの比が（３）：（１）なのですから、三角形ACFと三角形ABFと三角形BCFの比は３：３：１ということになります。三角形ACFと三角形ABFの比は３：３つまり１：１ですから、面積が等しいということになりますね。そしてこれは比の数字をいくつにしても同じです。「a」：「b」と（a）：（b）を「b」と（b）でそろえるのですから、必ずa：a：bになります。これで証明できました。

中学に入ってから習う証明問題とはやり方がずいぶん違うと思います。ただ、中学受験であれば、そのようなやり方とは違っていても、きちんと理屈の通ったやり方で説明できていれば得点がもらえるはずですから、このようなやり方でもいいと思いますよ。

お礼

ありがとうございます。わかりました。塾の宿題でした。

回答No.1

noname#190065

問題文の「『線CD』は三角形ABCの底辺に水平」は、線CDでなく『線DE』だと思いますが…

それなら、平行なので△BDC=△CEBで、△BCFが共通です。後は、大丈夫ですね。

　というのも、「示しなさい」ではなく「証明」とありますが、最近の算数ではそのような解答を要求するのでしょうか。