図形の問題

質問

半径8の円が等脚台形に内接している。台形の長い方の底辺は20である。この台形の面積を求めよ。

上底の長さをどう出すか、というのがこの問題のポイント
だと思うんですがどのようにしたら求まるでしょうか。
宜しくお願いします。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

等脚台形の左側半分を図示しました。

△OBH、△OMAは互いに相似な直角三角形である
ことがわかるので、

OM:AM=10:8より、上底=6.4*2=12.8かと。

お礼

△OBH、△OMAの相似を利用するんですね！

分かりやすい図形まで添付してもらって本当にありがたいです。

答えは1312/5となりました。

回答No.5

Kules

答えを全部書くのはここでのルールに抵触しそうなのでヒントだけ。

・定理の名前を忘れたのですが、円外の点Aから引いた２本の接線において、接点をS,TとするとAP=ATが成り立ちます。上底をなんらかの文字で置き、これを利用すると斜辺をその文字を使って表現することが
出来ます。

・斜辺、下底の一部、高さを使った直角三角形を作るとその三角形の底辺も先ほど上底でおいた文字で
表現できるので三平方の定理により未知数が求まります。

頑張ってください！参考になれば幸いです。

お礼

大事なヒント、ありがとうございました！

回答No.4

mis_take

台形をABCDとし，内接円の中心をO，上底AD，下底BCの中点をM,N，斜辺ABと内接円の接点をHとします。
∠HOM＝180゜－∠HAM＝∠HBN
∴∠AOM＝∠OBN
∴△AOMと△OBNが相似
∴AM:MO＝ON:NB
∴AM=8・8/10
上底＝64/5

お礼

△AOMと△OBNの相似を使うのですね。

ありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

等脚台形をＡＢＣＤ（ＢＣを長い方の底辺）、円の中心をＯ、円とＤＡ、ＡＢ、ＢＣの接点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとします。すると
△ＯＢＲ≡△ＯＢＱ
△ＯＡＱ≡△ＯＡＰ
∠ＲＢＱ＋∠ＰＡＱ＝１８０°
よって
∠ＯＡＱ＋∠ＯＢＱ＝９０°　なので∠ＢＯＡ＝９０°
従って
ＯＢ＾２＋ＯＡ＾２＝（ＢＱ＋ＱＡ）＾２
ＯＡ＾２＝ＯＱ＾２＋ＱＡ＾２
ＯＢ＾２＝ＯＱ＾２＋ＢＲ＾２
を使えば上底がわかると思います。

お礼

直角三角形がたくさん出てくる。
→三平方の定理で解いてくのですね。

上底出ました！ありがとうございました。

回答No.1

debut

台形を、左上から反時計回りにＡＢＣ Ｄとし、円の中心をＯ，
円とＡＢ，ＢＣ，Ｃ Ｄ，ＤＡの接点をＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとします。
Ａ Ｏ が∠Ｓ Ｏ Ｐの二等分線、Ｂ Ｏ が∠Ｐ Ｏ Ｑの二等分線
であり、ＳＱは直径なので、∠Ａ Ｏ Ｂ＝180°÷２＝90°です。
ＢＱ＝ＢＰ（接線の長さは等しいし、等脚台形だから）＝20÷２
＝10、∠ＡＰ Ｏ ＝90°（半径と接線は垂直）で、
△Ａ Ｏ Ｐ∽△Ｏ ＢＰとなり、辺の比、ＡＰ：ＯＰ＝ＯＰ：ＢＰ
→ＡＰ：８＝８：10→ＡＰ＝32/5
ＡＰ＝ＡＳなので、上底は　(32/5)×２＝64/5となります。
高さはＳＱ＝８×２＝16です。

お礼

なるほど。相似を使って求めるんですね。
全然気がつきませんでした（＾＾；）
ありがとうございます！