• 締切済み
  • すぐに回答を!

高校数学の図形の問題です

高校数学の図形の問題です 半径2の円に内接する二等辺三角形で面積が最大になるのはどのような三角形かまた面積が最初になるのはどのような三角形か 1時間は考えてたんですけどわからないです…教えてくれたら助かります

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数195
  • ありがとう数2

みんなの回答

  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

二等辺三角形の頂角をA、底辺をBC、面積をS、Aを通る直径をAD、 ADとBCの交点をE、AE=h、BE=CE=aとすると、S=ah・・・(ア) 方べきの定理:EA*ED=EB*ECよりh*(4-h)=a^2・・・・・・・(イ) (ア)(イ)よりS^2をhの関数として表し、これをf(h)とおくと、 S^2=a^2h^2=h^3*(4-h)=-h^4+4h^3=f(h) f(h)のグラフを考えると、 f'(h)=-4h^3+12h^2=-4h^2(h-3)=0からh=0、h=3 f''(h)=-12h^2+24h=-12h(h-2)=0からh=0とh=2 よってf(h)はh=0及びh=2のときに変曲点、h=3で極大値をとる。 従ってS^2=f(h)すなわちSが最大になるのはh=3、すなわち高さが 3の二等辺三角形であり、(イ)からa=√3、すなわち底辺BC=2√3 の三角形であり、これは一辺の長さが2√3の正三角形である。 なお、0≦h≦4 の範囲でf(h)の最小値はf(0)=f(4)=0であるから、 面積が最小となる二等辺三角形は存在しない。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

二等辺三角形ABCにおいて,AB=CAとします.また,半径2の円の中心をOとします. 三角形ABCの面積の最大値と最小値?を知りたいので,適当な量を文字で置いて,面積をその文字の関数で表してみます. 文字の置き方ですが,No.1さんが提案されているように頂角の大きさを文字にしても(例えば∠BAC=θ)良いでしょう. しかし,ここでは数2で習うような多項式関数の微分でも解けるよう,別の量を文字に置いてみます. 【解答例】 Oから辺BCに下ろした垂線の足をHとし,OH=xとする.このとき,-2<x<2 …(1) 三平方の定理から,BH=CH=√(4-x^2) よって,三角形ABCの面積をSとすると, S=1/2 * BC * AH =1/2 * 2√(4-x^2) * (2+x) = √(2-x)(2+x)^3 ここで,f(x)=(2-x)(2+x)^3と置く.すなわち,S=√f(x) f(x)が最大(最小)となるとき,Sも最大(最小)となる. f'(x)=-4(x-1)(x+2)^2 (※途中計算省略) (1)の範囲で増減表を書くと,x=1のときf(x)は最大になることが分かる. よって,Sはx=1のとき最大となる. このとき,AH=3,BH=√3,三平方の定理からAB=2√3=CA. また,BC=2BH=2√3 したがって,AB=BC=CAなので三角形ABCは面積が最大のとき正三角形となる. こんな感じになると思います. また,最小値ですが,xの定義域が-2<x<2なので「最小値なし」ということになります.まあBとCが限りなく近づくときに(x→±2),Sは0に限りなく近づきますが,そうなると三角形でなくなりますからねw

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
noname#235638
noname#235638

頂角が重要ですよね。 頂角の大きさをいくつとするか・・・ でわかりますよ!!

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数学の図形

    数学の図形的な質問です。 半径16Mの円の円周に、二等辺三角形の45度の部分が接しているとします。 その二等辺三角形の両辺が4Mの場合、円心から二等辺三角形の底辺までの距離はどうやって求めるといいですか? 数学が苦手で、あてはめる公式も思いつきません。 よろしくご教授下さい。

  • 数学問題、助けて下さい。

    大学の微分積分学に関する問題です。 1。半径rの円に内接する二等辺三角形の最大の面積は? 2。コーンのような型の杯は半径rの円形紙から扇形を切り捨てて辺CAとCBを着けて作られる。この杯の最大容量は?

  • 線分ABを直径とする円の円周上に三角形ABCの内接

    線分ABを直径とする円の円周上に三角形ABCの内接円の半径が最大となるように点Cをとる。 このとき、三角形ABCは二等辺三角形になりますか?

  • 数I図形の問題です。解説お願いします。

    「半径1の円に内接する正十二角形の面積を求めよ。」 という問題で、正十二角形を12個の二等辺三角形でわける方法で解いてみたのですが、答えにたどり着けません。 以下私の解答です。 ------------- 円に内接する正十二角形のそれぞれの頂点と円の中心を結ぶと、2辺が1の二等辺三角形が12個できる。 1つの二等辺三角形をAB=AC=1の△ABCとすると、∠BAC=12/360゜=30゜ 余弦定理から BC^2=1^2+1^2-2*1*1*cos∠BAC =1+1-2*√3/2 =2-√3 ------------- となり、BC^2=2-√3が解けないので、答えまで行き着きません。 やり方が違うのでしょうか。 答えは3です。 解説お願いします。

  • 図形に関する問題なんですけど…

    図形に関する問題なんですけど… 写真の図のような台形と三角形があって、台形と三角形の面積が等しくなるように 各図形の高さを求める問題なんですけど 三角形は二等辺三角形で頂点の角度は130度です またR=10です 教えてもらえないでしょうか よろしくお願いします

  • 小学校で習う図形について

     三角形,四角形,正方形,長方形,ひし形,平行四辺形,台形,正三角形,二等辺三角形,直角三角形,円は,小学校の算数ではどのように定義されているのでしょうか。  三角形は,「三つの辺に囲まれた図形」なんて小学校では言いませんよね…。  それから,算数では,二等辺三角形,平行四辺形,円などの図形のどんな性質を調べるのでしょうか。  ご存知のところだけでもいいので,教えて下さい。困ってます!

  • 積分を用いた円の面積公式の証明について

    中心角θ、二辺の長さがrである二等辺三角形を用いて、半径rの円の面積S(厳密には内接する正多角形の面積の極限?)を求めようとしています。 dS=r^2/2×sin(dθ) である微小三角形を定義し、それを区間[0,2π]で積分することで、S=r^2/2×∫sin(dθ) を求めたいのですが、この積分が解けません。 この積分を解いていただけないでしょうか? また、このような微小三角形を並べることによる円の面積公式の証明は妥当なものでしょうか? よろしくお願いします。

  • 図形の問題です

    次の問題の解き方を教えてください。お願いします!! 『二等辺三角形ABCに正方形DEFGが内接している。AB=AC=a,BC=2.とする。  (1)正方形DEFGの面積S1を求めよ。  (2)二等辺三角形ADGに内接する正方形D'E'F'G'の面積をS2、二等辺三角形  AD'G'に内接する正方形の面積をS3、以下同じように正方形を作っていき、 その面積をS4,S5,…とする。無限級数S1+S2+S3+…の和S∞を求めよ。 』

  • 半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。

    半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。 説明が十分かどうか自身がもてません…orz 底辺を定めると高さが最大の時に面積が最大となるので、内接三角形の頂点は底辺の中心にあり、二等辺三角形になる。円の中心を内側に含む内接三角形を考える。 中心から底辺までの長さをx(0=<x<r)として、高さはx+rで表される。 さらに、中心から底辺の一端に補助線を引くと高さx、斜辺rの直角三角形ができる。 三平方からこの三角形の底辺は√(r^2-x^2)であり、これを2倍すると内接三角形の底辺=2√(r^2-x^2)となる。 ∴S=(x+r)2√(r^2-x^2) , S>0…(1) の極値について考える。s>0よりSが最大⇔S^2が最大なので、 s^2= f(x)について考察する。 f(x)=(x+r)^2 (r^2-x^2)=(x+r)^3(x-r) f'(x)=3(r+x)^2-(x+r)^3=2(r+x^2)(r-2x) ∴実数の範囲ではx=r/2 の時、極値を取る。 f''(x)=4(r(x-1)-3x^2) f''(r/2)=-r(r+4)<0 , (r>0) なので極大である。 以上よりx=r/2でS^2は最大値であり、又Sも最大値である。 (1)に代入して、S=(3√3/4)r^2である。 という感じで不備はないでしょうか? 宜しくご指導願います。

  • 数III関数の最大の問題

    解説をお願いします。 AB=AC,∠BAC=2θである二等辺三角形ABCが、半径1の円Oに内接している。θが変化するとき、この三角形の周の長さの最大値とそのときのθの値を求めよ。