高校数学の図形の問題です

質問

高校数学の図形の問題です
半径2の円に内接する二等辺三角形で面積が最大になるのはどのような三角形かまた面積が最初になるのはどのような三角形か

1時間は考えてたんですけどわからないです…教えてくれたら助かります

回答No.3

yyssaa

二等辺三角形の頂角をA、底辺をBC、面積をS、Aを通る直径をAD、
ADとBCの交点をE、AE=h、BE=CE=aとすると、S=ah・・・(ア)
方べきの定理：EA*ED=EB*ECよりh*(4-h)=a^2・・・・・・・(イ)
(ア)(イ)よりS^2をhの関数として表し、これをf(h)とおくと、
S^2=a^2h^2=h^3*(4-h)=-h^4+4h^3=f(h)
f(h)のグラフを考えると、
f'(h)=-4h^3+12h^2=-4h^2(h-3)=0からh=0、h=3
f''(h)=-12h^2+24h=-12h(h-2)=0からh=0とh=2
よってf(h)はh=0及びh=2のときに変曲点、h=3で極大値をとる。
従ってS^2=f(h)すなわちSが最大になるのはh=3、すなわち高さが
3の二等辺三角形であり、(イ)からa=√3、すなわち底辺BC=2√3
の三角形であり、これは一辺の長さが2√3の正三角形である。
なお、0≦h≦4 の範囲でf(h)の最小値はf(0)=f(4)=0であるから、
面積が最小となる二等辺三角形は存在しない。

回答No.2

tksmsysh

二等辺三角形ABCにおいて，AB=CAとします．また，半径2の円の中心をOとします．

三角形ABCの面積の最大値と最小値？を知りたいので，適当な量を文字で置いて，面積をその文字の関数で表してみます．
文字の置き方ですが，No.1さんが提案されているように頂角の大きさを文字にしても（例えば∠BAC=θ）良いでしょう．
しかし，ここでは数2で習うような多項式関数の微分でも解けるよう，別の量を文字に置いてみます．

【解答例】
Oから辺BCに下ろした垂線の足をHとし，OH=xとする．このとき，-2<x<2　…(1)
三平方の定理から，BH=CH=√(4-x^2)
よって，三角形ABCの面積をSとすると，
S=1/2 * BC * AH
=1/2 * 2√(4-x^2) * (2+x)
= √(2-x)(2+x)^3

ここで，f(x)=(2-x)(2+x)^3と置く．すなわち，S=√f(x)
f(x)が最大（最小）となるとき，Sも最大（最小）となる．

f'(x)=-4(x-1)(x+2)^2 （※途中計算省略）
(1)の範囲で増減表を書くと，x=1のときf(x)は最大になることが分かる．
よって，Sはx=1のとき最大となる．
このとき，AH=3，BH=√3，三平方の定理からAB=2√3=CA．
また，BC=2BH=2√3
したがって，AB=BC=CAなので三角形ABCは面積が最大のとき正三角形となる．

こんな感じになると思います．
また，最小値ですが，xの定義域が-2<x<2なので「最小値なし」ということになります．まあBとCが限りなく近づくときに（x→±2），Sは0に限りなく近づきますが，そうなると三角形でなくなりますからねｗ

回答No.1

noname#235638

頂角が重要ですよね。
頂角の大きさをいくつとするか・・・
でわかりますよ！！