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下図の様に 円Oの外部の点Pからこの円に接線PA、PBを引き、 線分ABとPOの交点をCとする。 また、POとCで交わる弦DEを引く。 このとき、4点P,O,D,Eは 1つの円周上にあることを証明せよ。 図がゆがんでますね、、、すみません
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> 又PQに関しては > a^2 + b^2 = 1, b = k(a+cos t)であった事に注目すると 又EQに関してはです
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- tmpname
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多少力技で出しました。 今、DEがABと一致する時は、POの中点をMとすると4点PDOEは Mを中心とする半径OMの円上にあります。 又DEがOP上にある時は4点PDOEは一直線上であって、4点を通る 円は存在しません。 それ以外: 今、円Oの半径を単位長さとし、O(0,0) 角AOP=tとして A(-cos t, sin t) B(-cos t, -sin t)とすると(0<t<π/2) P(-1/cos t, 0) C(-cos t, 0)となります。 DEの傾きをkとすると(注:DEがy軸に平行な時はすでに議論してある、 またk=0でない) 直線DEの方程式はy=k(x+cos t)になります。 D(c,d) E(a,b)とし、DEの中点をFとすると、 OD, OEは円Oの半径であるからFはOからDEに下ろした垂線の 足になる為DEとOFは直交し、よって直線OFの方程式は y=(-1/k) xとなります。 今OPの中点をMとするとM(-1/(2cos t), 0)なので、OPの垂直 2等分線Lの方程式はx=-1/(2cos t)となります。 これと直線OFとの交点Qは(-1/(2cos t), 1/(2k cos t))と なります。この点QからP, O, D, Eまでの距離が全て等しいことを 言えば証明は終了します。 今、QはL上にあるのでOQ=PQ, またQはOF上にあるのでDQ=EQ。 よってOQ = EQを言えば良いです。 計算するとOQ = ((1 + k^2)^(1/2)) / (2|k| cos t) 又PQに関しては a^2 + b^2 = 1, b = k(a+cos t)であった事に注目すると EQ^2 = (a + (1/(2cos t))^2 + (b - 1/(2kcos t))^2 = (a^2 + b^2) + ( ((1/(2cos t))^2 + (1/(2kcos t))^2) + (a/cos t - b/(kcos t)) = 1 + OQ^2 + (a/cos t -k(a+ cos t)/(kcos t)) = OQ^2 よってEQ=OQ 以上より証明は終了しました。 初等幾何のみを使った証明があるかもしれませんが...
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