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円と相似の証明問題

(1)A.B.C.Dは円周上の点で孤AB=孤ACです。 弦AD.BCの交点をPとするとき△ABP∽△ADBとなります。 このことを証明しなさい。 (2)A.B.Cは円Oの円上の点でBCは直径です。 ∠ABCの二等線分をひき弦AC円Oとの交点をそれぞれD.Eとします。 このとき∠ABC=60°であれ△ABC∽△EDCとなります。 このことを証明しなさい。 求め方と答えを教えてください(^_^)

noname#174361
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(1)△ABと△ADBにおいて ∠ABP=∠ADC(AC上の円周角) =∠ADB   (AC=AB) ∠DABは共通 従って 二つの三角形の残りの角も等しい。 よって△ABP∽△ADB (2)∠ABE=∠ACE  (円周角)    =30°        ∠BAC=90°(直径上の円周角)    故に    ∠ACB=30°    △BACと△DECにおいて∠BAC=90°=∠BEC    ∠ABE=30°=∠DCE    よって残りの角も等しく△ABC∽△EDC

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  • gohtraw
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(1) ∠ABCと∠ADBは同じ長さの弦に対する円周角なので、両者の大きさはひとしくなります。また、二つの三角形は∠BAD(BAP)を共有しています。以上より、二つの内角の大きさが等しいことから残る一つの内角も等しく、三つの内角が等しいので二つの三角形は相似になります。 (2) ∠BACとBECはいずれも直径に対する円周角なので直角です。∠CBEは∠ABCの半分の大きさなので30°です。以上より二つの三角形はいずれも内角が90°、60°、30°である直角三角形になります。

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