中学幾何 考え方を教えてください。

質問

よろしくお願いします。
中学２年の数学の幾何の問題です。

学校で渡されているテキストのため、答えのみで、解説がのっていません。

(１)と(２)はわかったのですが、(３)がわかりません。
考え方も含めて教えていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

問題
図のように、半径２の円Oがあり、PTは円Oの接線、Tはその接点である。また、直線POと円Oとの交点をPに近い方から順にA、Bとし、Bから直線PTに下ろした垂線の足をHとする。また、OHとBTの交点をQとする。PA＝１．

１、 角ABT＝角TBHが成り立つことを証明せよ。
２、 PT、BHの長さをそれぞれ求めよ。
３、 三角形OBQの面積を求めよ。答え　(５√５)/12
よろしくお願いします。

回答No.2

dddmmgrru · ベストアンサー

OT//BH　より　TH=(2√5)/3
よって、△BPH=1/2×BH×PH=1/2×10/3×(3√5)/3=(25√5)/9
BO:OP=2:3より
△BOH=△BPH×(2/5)=(25√5)/9×(2/5)=(10√5)/9
OQ:QH=BO:BH=2:10/3=6:10=3:5
△BOQ=△BOH×3/8=(10√5)/9×3/8=(５√５)/12

頂角の二等分線の定理：
∠ABT＝∠TBHのときBP:BH=PT:HT=OQ:HQは既知とします。

お礼

簡潔、かつわかりやすく書いていただきました。
お世話になり、ありがとうございました。

回答No.1

himajin100000

(1)⊿BTHと⊿BATについて

接弦定理より、
∠BTH = ∠BAT

また、円周角の定理から
∠BTA = ∠R
また、仮定より
∠BHT = ∠R
よって
∠BTA = ∠BHT

したがって二角相当により
⊿BTH∽⊿BAT

よって、
∠ABT = ∠TBH

(2)
OTに補助線を引く。
三平方の定理から
PO^2 = OT^2 + PT^2
(PA + AO)^2 = OT^2 + PT^2
3^2 = 2^2 + PT^2
PT = √(5)

ここで⊿PBH ∽ ⊿POTである(証明略)から
PB:PO = BH:OT
5 : 3 = BH:2

BH = 5 * 2 / 3 = 10 / 3

(3)
⊿POTの面積は
⊿POT
= (1/2) * PT * OT
= (1/2) * √(5) * 2
= √(5)

さて、⊿PBH ∽ ⊿POTである(証明略)から
面積比は
⊿PBH:⊿POT = PB^2 : PO^2 = 25:9
よって
⊿PBHの面積は
= 25 * √(5) / 9

高さの等しい三角形は底辺の比でその面積比が決まるから
⊿POH:⊿BOH = PO : OB = 3 : 2
よって
⊿BOH = ⊿PBH * (2 / ( 3 + 2) ) = 10 * √(5) / 9

ところで、(1)よりBQは∠OBHの二等分線であるから、
OQ:QH = OB:BH = 2 : 10 / 3 = 6 : 10
である。

従って、⊿OBQの面積は
10 * √(5) / 9 * ( 6 / (6 + 10) ) = 5 * √(5) / 12

お礼

ありがとうございます。１、２ともに教えていただきありがとうございました。