メラネウスの定理？中学幾何

質問

四角形ABCDにおいて角DCBの外角の二等分線と直線BDの交点をP
角ACD、角BCAの二等分線がAD、ABと交わる点をQ、Rとする。

このとき、P,Q,Rは同一直線上にあることを証明せよ。

どうやら「『メラネウスの定理』を組み合わせて解くらしい」とはわかってるのですが、
実際にどのように適応するのかさっぱり判じえません。

このあたりの平面幾何にお詳しい方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

noname#203829 · ベストアンサー

射影幾何を使っていいならPを無限遠においてAを垂直に持ち上げて立体で考えれば一発です.メネラウスの定理を使うのは面倒くさいですが手順を考えてみました.

CとPとを通る直線に関して図を折り返した時,D,Bに対応する点をそれぞれD',B'とします。
Pが∠BCDの外角の二等分線上にあるのでD'が直線BC上にあります.

△DAFについてメネラウスの定理
(DQ/QA)(AC/CF)(FE/ED)=1　…(1)

△ABFについてメネラウスの定理
(AR/RB)(BG/GF)(FC/CA)=1　…(2)

△PDB'についてメネラウスの定理
(PB/BD)(DC/CB')(B'D'/D'P)=1　…(3)

(1)より
DQ/QA=(CF/AC)(ED/FE)　…(1)'

(2)より
AR/RB=(GF/BG)(CA/FC)　…(2)'

(3)より
BP/PD=PB/D'P=BD・CB'/(DC・B'D')=BD・CB/(DC・BD)=CB/DC=(CF/DC)(CB/CF)　…(3)'

ここでQ,Rはそれぞれ∠ACD,∠BCAの二等分線上にあることから

CF/DC=EF/DE
CB/CF=GB/GF

となるので,(3)'より
BP/PD=(EF/DE)(GB/GF)　…(3)"

(1)',(2)',(3)"より
(AR/RB)(BP/PD)(DQ/QA)=(GF/BG)(CA/FC)(EF/DE)(GB/GF)(CF/AC)(ED/FE)=1

∴メネラウスの定理の逆から点P,Q,Rは一直線上にあることがわかります.

お礼

すごい腕前ですね！
私の場合、解説を理解するのも一筋縄ではいきませんでした。。

このような導出も「射影幾何」を理解できていれば簡単なのでしょうか？？

いずれにせよ、感銘しました。ありがとうございました。

回答No.2

noname#203830

#1ですがE,F,Gの説明が抜けましたので追記します.
BPとQCの交点をE
BPとACの交点をF
BPとRCの交点をG
とそれぞれ置きました.