放物線の３接線によってつくられる三角形の外接円は,その放物線の焦点を必ず通る。

質問

具体的に言うと次のようになります。
放物線上に異なる3点P,Q,Rをとる。点Pにおける接線と点Qにおける接線との交点をS、点Qにおける接線と点Rにおける接線との交点をT、点Rにおける接線と点Pにおける接線との交点をU、とする。
三角形STUの外接円は放物線の焦点を通る。

このことを座標を用いないで証明して、幾何学的な意味を理解したいのですがわかりません。
証明できた方は教えていただけないでしょうか。

また、次のような似たような定理もあります。

双曲線の2焦点の垂直二等分線を軸と呼ぶことにします。
双曲線上の頂点以外の1点Pにおける接線、法線と軸との交点をそれぞれ、Q，Rとするとき、
三角形PQRの外接円が双曲線の焦点を通る。

このことの座標を用いない証明法もわかりません。
また、楕円に関して似たような定理はあるのでしょうか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

初めの方だけ。
放物線上に異なる3点P,Q,Rをとる。
点Pにおける接線と点Qにおける接線との交点をS、点Qにおける接線と点Rにおける接線との交点をT、点Rにおける接線と点Pにおける接線との交点をU、とする。

放物線の焦点をF，準線をLとする。
PからLにおろした垂線の足をP1とすればPP1=PFである。
またPにおける角P1PFの2等分線はPにおける接線となっている。
なぜなら，角P1PFの2等分線上の点でP以外の任意の点をP'とし，P'からLにおろした垂線の足をP''とすればP'P''<P'F=P'P1となりP''は放物線の外部にあることになる。
以上からPにおける接線はP1Fの垂直2等分線である。
同様にQからLにおろした垂線の足をQ1，RからLにおろした垂線の足をR1とすれば，Qにおける接線はQ1Fの垂直2等分線であり，Rにおける接線はR1Fの垂直2等分線である。
明らかにP1,Q1,R1は同一直線上にあって，また，FP1,FQ1,FR1の中点P2,Q2,R2も同一直線上にある。
さらにFP2,FQ2,FR2はそれぞれSU,ST,TUに垂直である。

ここで角FP2S=角FQ2Sは直角であるから四角形FSP2Q2は同一円周上にあり，角SQ2P2=角SFP2である。
P2,Q2,R2も同一直線上にあるので，角SQ2P2=角TQ2R2である。
角TR2F=角TQ2F=直角であるから四角形FQ2TR2は同一円周上にあるので，角TQ2R2=角TFR2である。
以上から角SFP2=角TFR2である。
直角三角形FP2Uにおいて角FUP2+角P2FU=直角
直角三角形FUR2において角FUR2+角UFR2=直角
従って角SUT+角P2FU+角UFR2=2直角だが，角P2FU+角UFR2=角P2FU+角UFT+角TFR2=角P2FU+角UFT+角SFP2=角SFU+角UFT=角SFT
であるから角SUT+角SFT=2直角。
これはFが三角形STUの外接円上にあることを示す。

お礼

ご親切な回答に最大限の感謝をいたします。
感謝ゆえに、少し考えてみました。

放物線の焦点をF，準線をLとする。
放物線上のPからLにおろした垂線の足をP1とする。
PP1=PFより、三角形PP1Fは二等辺三角形だから、
角P1PFの二等分線と線分P1Fとの交点をP2とすると、FP2⊥PP2。
放物線のPでの接線は角P1PFの二等分線と一致するので、
FP2⊥(Pでの接線)。
また、P2はFP1の中点。
放物線上のPと同様に、放物線上のQ,RにおいてもQ1,Q2,R1,R2を考える。
P1Q1R1は同一直線上にあるので、P2Q2R2も同一直線上にある。
ここで、シムソンの定理の逆を適用する。
つまり、P,Q,Rでの各接線が作る三角形と、他の点Fにおいて、
Fから三角形の各辺に下ろした垂線の足P2,Q2,R2が一直線上にあるので、Fは三角形の外接円上にある。

補足

No2のお礼で述べた
>（本にはそう書いてあったが、2円の交点は2つあり一意的に定まらないので、もう一つの外接円が必要と思う。)
というのは間違っていました。すみません。

http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javaff/center4.html
の図によると、
平面上の４直線のうちの３直線ずつによってできる四つの三角形の外接円は1点で交わる。
したがって、4直線に接する放物線の焦点はその点として一意的に定まります。
また、そこのサイトによると、4つの外接円の中心と上記の交点の計5つは同一直線上にあるようです。
とっても不思議で、どんどんわからないことが出てきます。証明は出来ていません。
さらに同サイトの別ページには、平面上の５直線に対しても同様のことが成り立つようです。

アポロニウスの問題というのがあります。
平面に3円の位置が与えられたとき、全部に接する円の作図方法は?
求める円は何種類あるか?
さらに、個人的には、3円の方程式が与えられたとき、全部に接する円の方程式の計算方法も気になります。
今回の一連の問題を整理すると、それらと似ていて、
平面に4直線の位置が与えられたとき、全部に接する放物線の作図方法は?
という話題です。とても深く、すぐにはわからないことだらけと思います。

回答No.2

f272

シムソンの定理なんか知らないぞというつもりで書いたので，長くなってしまいましたが，簡潔にまとめるとご賢察の通りです。ちなみに直線P1Q1R1をシュタイナー線と呼ぶのでした。

(2)
双曲線の2焦点の垂直二等分線を軸と呼ぶことにします。
双曲線上の頂点以外の1点Pにおける接線、法線と軸との交点をそれぞれ、Q，Rとする。
また，双曲線の焦点をF1,F2として，三角形PF1F2の外接円を考える。
角F1PF2の2等分線はPにおける双曲線の接線になっている。（証明略）
従って双曲線の接線と三角形PF1F2の外接円の交点であるQは，弧PF1と弧PF2を2分割する点である。
弦F1F2と双曲線の軸が直行することから，双曲線の軸(QR)は三角形PF1F2の外接円の直径になっている。
このことから三角形PQRの外接円が双曲線の焦点を通ることは明らか。

> 楕円に関して似たような定理はあるのでしょうか？

分かりません。

お礼

再びありがとうございます。
一つ目の問題の逆の定理が、以下のサイトで三角形の傍接放物線という題で紹介されていました。
http://suugakusuki.seesaa.net/article/123844241.html

また、google booksで検索して、
数学100の勝利 2: 平面図形の問題 著者: デリー,H.,根上生也
の95ページ以降の内容を簡単に書くと次のようになります。

相似三角形の定理
放物線の外部の点Sから二本の接線を引き、接点をA,Bとする。放物線の焦点をFとする。
このとき、△FSA∽△FBS

ランベルトの定理
放物線の3本の接線で作られるどんな三角形の外接円も放物線の焦点を通る。

4直線に接する放物線の作図方法
4直線から作られる4つの三角形から2つを選び、それぞれの外接円をかく。
ランベルトの定理より、その交点は焦点となる。
（本にはそう書いてあったが、2円の交点は2つあり一意的に定まらないので、もう一つの外接円が必要と思う。)
2本の直線に対する焦点の鏡像(線対称な点)を結ぶと、準線となる。
あとは、よく知られた方法で放物線を作図する。

教えていただいた二つ目の問題の回答を元に、楕円に関しても出来ることがわかりました。
楕円の2焦点F1,F2の垂直二等分線を軸と呼ぶことにします。
楕円上の頂点以外の1点Pにおける接線、法線と軸との交点をそれぞれ、Q，Rとするとき、
三角形PQRの外接円が楕円の焦点F1,F2を通る。
(証明)
Pは軸に対して、F2と同じ側にあるとする。
QPのPへの延長線上の点をSとする。
よく知られた接線に関する性質より、∠QPF1=∠F2PS
また、∠QPF2+∠F2PS=180°より、∠QPF2+∠QPF1=180°
Pの軸に関する対称点をP1とすると、∠QP1F1+∠QPF1=180°
したがって、4点Q,P1,F1,Pを通る円が存在する。
対称性よりF2も通る。
また、∠QPR=90°、そして、∠QP1R=90°より4点Q,P1,R,Pを通る円が存在する。
それら2つの円は3点を共有するので一致する。
3点P,Q,Rを通る円もそれと一致するので、三角形PQRの外接円が楕円の焦点F1,F2を通る。