放物線と共通接線に関する証明
- 放物線のx^2の係数が存在する時の証明について質問します。
- 2つの放物線(aとpとqは実数)が共通接線を持つときの条件を証明したいです。
- 具体的な計算方法に困っており、pとqを消す方法を教えていただきたいです。
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放物線と共通接線
手持ちの参考書などで探しても、放物線のx^2の係数が存在する時の証明が見当たらなかったので、こちらで質問させて頂きます。 2つの放物線(aとpとqは実数)、 y=ax^2…(1)とy=a(x-p)^2+q…(2)が共通接線を持ち、 その接点のx座標をそれぞれ、α、βとおくと、 2つの放物線の交点のx座標は(α+β)/2になる。 ということを証明したいのですが、 共通接線をy=mx+nとおく。 これと(1)の交点はax^2-(mx+n)=0、 そして共通接線と(1)はx=αで接するのでa(x-α)^2=0、 つまりax^2-(mx+n)=a(x-α)^2 共通接線と(2)の交点はa(x-p)^2+q-(mx+n)=0、 そして共通接線と(2)はx=βで接するのでa(x-β)^2=0 つまりa(x-p)^2+q-(mx+n)=a(x-β)^2 としたのですが、ここからどうやってpとqを消したら良いのか分からず、行き詰まっております。 考え方のアドバイスと共に解説して頂けると嬉しいです。 宜しくお願いします。
- taenergy
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ax^2 - (mx+n) = a(x-α)^2 と a(x-p)^2 + q - (mx+n) = a(x-β)^2 とが x についての恒等式なのだから、 両辺を展開整理して、係数を比較すればいい。 どちらの式も、二次項は無条件に一致するから、 一次項と定数項が一致する条件から a,p,q,α,β,m,n が満たすべき式が計4本出てくる。 これを使って、交点の x 座標から p,q,m,n の4個を消すことができる。 a,α,β が残るはずだが、やってみると a も消える。 参考書に a = 1 の場合が書いてあったのなら、 Y = y/a と置くことで、その解答がそのまま流用できる。
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- spring135
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点(α,aα^2)における(1)の接線の傾きは (dy/dx)(x=α)=(2ax)(x=α)=2aα よって接線の方程式は y-aα^2=2aα(x-α) すなわち y=2aαx-aα^2 (1) 同様に 点(β,a(β-p)^2+q)における(2)のの傾きは (dy/dx)(x=β)=(2a(x-p))(x=β)=2a(β-p) よって接線の方程式は y-a(β-p)^2-q=2a(β-p)(x-β) すなわち y=2a(β-p)x-aβ^2+ap^2+q (2) (1)、(2)が一致することにより 2aα=2a(β-p) (3) -aα^2=-aβ^2+ap^2+q (4) (3)より p=β-α (5) (4)より ap^2+q=a(β^2-α^2) (6) 放物線(1),(2)の交点は ax^2=a(x-p)^2+q より x=(ap^2+q)/2ap (5),(6)を代入して x=(α+β)/2
お礼
別解ありがとうございます。 少ない文字で示すことができるし、この方法も良いですね。
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お礼
ありがとうございます。 確かに、恒等的だから係数比較できますよね…orz 参考書の流用アドバイスも、ありがとうございました。