放物線と接線（数Ｃ）

質問

放物線y^2=4px（ｙ２乗）の準線上の１点から放物線に引いた２本の接線は直交することを証明するのがわかりません。
グラフを書いて証明するのか、数式で証明するのか、やってみましたがよくわかりません。
準線上の点をA(a,-p)とおき、接線と放物線の交点をP(x1,y1) Q(x2,y2)とおいて、三平方の定理が成り立つPQ^2=PA^2+QA^2から直角になると考えてみましたが・・・できません。

教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.2

postro · ベストアンサー

どろくさい方法です。おそらくもっとスマートな解法があるでしょうが思いつきません。
準線上の点A(-p,a)を通る直線の方程式は、その傾きをｍとすると、
y-a=m(x+p)　とかける。
放物線y^2=4px より　x=y^2/4p (p≠0)を代入して整理するとyに関する２次方程式
my^2-4py+4p(mp+a)=0　を得る。(m≠0)
直線と放物線が接することから、判別式D/4=0とすると
D/4=4p^2-4pm(mp+a)=0 整理して
pm^2+am-p=0
ｍに関する２つの解をα、βとすると解と係数の関係より
αβ=-p/p=-1
２つの直線の傾きの積が -1⇔直交している

あれ？＃１さんの方法そのものだった！

お礼

途中式を詳しく書いていただいたので最後までちゃんと理解できました。判別式や解と係数の関係のところがよくわかっていなかったのでもう一度勉強してみます。
どうもありがとうございました！！

回答No.3

BO-BO-keshi

こんばんは！
まず準線上の点の座標は(-p,a)の間違いではないでしょうか？
方針を考えてみましたが、この方針はどうでしょう。これが一番簡単かな～と思いますが…

まず、放物線上の点((t^2)/(4p),t)における放物線の接線を考えると、（t=0の場合は準線と交わらないので考えない）

y = (4p)/(2t) x + t/2

と表されます。
この直線が(-p,a)を通るようなtの値を求めるために(-p,a)を代入して、

a = - (4p^2)/(2t) + t/2

整理して

0 = 1/(2t) { t^2 - 2at -4p^2 }

となり、この中括弧内の二次方程式の解が条件を満たすtということになります。これは二つ解があることが判別式から簡単に分かりますので、とりあえずそれらをu、vとおくと解と係数の関係から、

u*v = -4p^2

が成り立ちます。
ではここで話を振り返って、調べたかったのは２接線が直交することなので、二直線の傾きの積を計算すると

(4p)/(2v) * (4p)/(2u) = (16p^2)/(4uv) = -1

となり、証明されました☆
どうでしょうか？間違っていないと思いますが～

お礼

この解き方も理解できました。判別式と解と係数の関係は重要なんですね。わかりやすい回答をどうもありがとうございました！！

回答No.1

eatern27

実際に計算したわけではないので、面倒な方針かもしれませんが。

＞準線上の点をA(a,-p)とおき
接線の傾きをmとおきます。

直線：y=m(x-a)-p
放物線：y^2=4px

が接するので、判別式＝０です。

判別式＝０
の式は、mについての2次方程式(のはず)なので、解を2つ持ちます。それらをm1,m2としたら、m1*m2=-1が示すべきことです。

これは、解と係数の関係から示せるはずですね。

お礼

私は判別式や解と係数の関係などの関数とグラフについて理解が足らなかったようです。あと、準線上の点の座標は(-p,a)の間違いでした。すみません。回答どうもありがとうございました！！