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数学教えてください!

数学教えてください! 半径aの円Oの周上に動点Pと定点Aがある。Aにおける接線上に AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがAに限りなく近づくとき、PQ/AP^2(弧)の極限値を求めよ。 解答を見ると、 θ=∠AOP 0<θ<π とおくと AP=2a×sin(θ/2) AP(弧)=aθ また、接線と弦の作る角の性質から ∠PAQ=AP(弧)の円周角=θ/2 △APQは二等辺三角形であるから PQ=2APsin(θ/4)=4a×sin(θ/2)sin(θ/4) PがAに限りなく近づくとき、θ→+0 であるから、求める極限値は… となっていて、極限値を求めるのはわかるんですけど、何故AP=2a×sin(θ/2)になるのかと、“△APQが二等辺三角形であるから”PQ=2APsin(θ/4)となる理由がわかりません。 わかりやすく説明してください!

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せっかく図が出ているので、先の回答さんの図を見てもらって、 θ=∠AOP 0<θ<π とおくと 円周角の定理より ∠ARP=θ/2 ここで、△APR において、正弦定理を使うと  AP / sin(θ/2)=2a , だから、 AP = 2a×sin(θ/2) AP(弧)=aθ  ← (半径)×(中心角) また、接線と弦の作る角の性質から(接弦定理) ∠PAQ=∠ARP = θ/2 △APQは二等辺三角形であるから 頂角A から底辺PQ に対し、垂線を下ろし、その足をH とすると、 その垂線は頂角A の角の2等分線であり、AH は底辺PQ を垂直2等分する。 △APH (直角三角形)において、 ∠PAH = θ/4  sin∠PAH = sin(θ/4)= PH / AP { 三角比 (高さ)/(斜辺) } PH = AP × sin (θ/4) ここで、PQ = 2 × PH = 2×{ AP × sin (θ/4) } だから、PQ = 2 AP sin (θ/4) となる。 よって、  PQ = 2× { 2a×sin(θ/2)} × sin (θ/4)       ※注 2倍角  sin(θ/2)= sin {2×(θ/4)}= 2× sin(θ/4)× cos(θ/4) = 2 × 2a × { 2×sin(θ/4)× cos(θ/4)} × sin (θ/4) = 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4) 質問の中の極限値について、   分母の(AP)^2 = ( aθ )^2 =a^2 × θ^2 分子の PQ = 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4) PQ / (AP)^2 = { ( 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4) ) } / {a^2 × θ^2 } = { 8a × cos(θ/4) × { sin(θ/4)}^2 } / { a^2 × (θ/4)^2 × (4^2) } = { ( 8a × cos(θ/4) )/ ( a^2 × 16 ) } × { { sin(θ/4)}^2 / (θ/4)^2 } ここで、θ → +0 極限をとると cos(θ/4) → 1 , { sin(θ/4)}^2 / (θ/4)^2 } → 1 ※2注 θ → 0 のとき、 { sinθ / θ } → 1 を利用。 = { ( 8a × 1 ) / ( 16 × a^2 ) } × 1 =1 / (2a) となる。

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質問者からのお礼

丁寧な説明ありがとうございます! 理解できました!

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

質問者さんへ! すみません!!極限値の答えはいくつでしたか? のせてくれたら、質問に答えます!!! ちょっと気になったんで…

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質問者からの補足

解答は1/2aでした

  • 回答No.2

接弦定理は覚えていますか? 中学3年くらいで習うと思いますが、下図で∠ARP=∠QAPとなる というのがソレです。 (∠ARPは弧APの円周角ならどこにあってもかまいません。) ∠ARPは円周角なので、∠QAPはθの半分となり、PQ=2APsin(θ/4)となります。

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質問者からのお礼

わかりました! ありがとうございます!

  • 回答No.1

>何故AP=2a×sin(θ/2)になるのか △AOPはAO=PO=aの二等辺三角形で頂角∠AOP=θあるからです。Oから底辺APに 垂線を下してみれば解ります。 >△APQが二等辺三角形であるから”PQ=2APsin(θ/4)となる理由 △APQはAQ=APになるように最初に定めています。 最初の質問にあったようにAP=2a×sin(θ/2)=AQです。 >また、接線と弦の作る角の性質から  ∠PAQ=AP(弧)の円周角=θ/2  (1) よって頂角∠PAQ=θ/2です。 従って頂角∠PAQ=θ/2、等辺=AP=2a×sin(θ/2)の三角形の底辺として PQ=2APsin(θ/4)が求められます。 これはAからPQに垂線を下してみれば解ります。 (1)は解りますか。接線と円周角の関係として重要な関係なので 教科書、参考書等で確認しておいてください。

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質問者からのお礼

やっと理解できました ありがとうございました!

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