三角関数&極限

質問

とりあえず問題を見てください。

半径１の円Ｏの円周上に定点Ａと動点Ｐがある。ＰからＡにおける接線に垂線ＰＨを下ろす。
Ｐが円周上をＡに限りなく近づけるとき、（ＡＨ＾２）/ＰＨ　の極限値を求めよ。

自分の方針としては、

∠ＡＯＰ＝θとおいて、余弦定理からＡＰを出す。
接弦定理から、∠ＨＡＰ＝θなので、ＡＨ＝ＡＰcosθ、ＰＨ＝ＡＰsinθ　として計算しました。

ところが不定形になり色々変形を試みたのですが、できません。

教えてください。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

Ａ(1、0)、Ｐ(cosθ、sinθ)とすると、垂線：ＰＨの方程式は　x＝1.
よって、Ｈ(1、sinθ)だから、ＰＨ＝1-cosθ、ＡＨ＝sinθ。
従って、（ＡＨ＾2）/ＰＨ　＝(sinθ)＾2/(1-cosθ)＝1＋cosθ　であるから、θ　→　0とするだけ。

お礼

回答ありがとうございます。

座標空間というアイデアは思いつきませんでした。
参考になりました。

回答No.4

naniwacchi

#2です。

角AOPの大きさは、2θとおいた方が後が楽になると思います。
・余弦定理から APを表して、

・接弦定理から角OAP＝○となるので、AH＝ AP*・・・、PH＝ AP*・・・と表されます。

・AH^2／PHを計算していきますが、APが消えずに残ります。
√がついていて計算が面倒そうですが、倍角公式を用いれば「すっと」消えていきます。

・最後は単純な極限の計算で、簡単な整数になります。
（長さで表された式なので、負になることはないですね。）

お礼

なるほど・・・

ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

先ほどの回答で、大事な事を書き忘れてるんで、追加しておいて。

xy平面上に、原点Ｏを中心とする単位円：x＾2＋y＾2＝1　をとる。
∠ＰＯx＝θ　とすると　(以下、先ほどの回答に続く)

の注釈は答案上でも必要。

お礼

回答ありがとうございました。

座標空間におく　という発想はすごいですね！！

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞接弦定理から、∠ＨＡＰ＝θなので、
角AOPは中心角なので、
接弦定理を使うためには円周角を使わないとだめですね。＾＾

お礼

回答ありがとうございます。

ご指摘ありがとうございました。