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三角関数&極限

とりあえず問題を見てください。 半径1の円Oの円周上に定点Aと動点Pがある。PからAにおける接線に垂線PHを下ろす。 Pが円周上をAに限りなく近づけるとき、(AH^2)/PH の極限値を求めよ。 自分の方針としては、 ∠AOP=θとおいて、余弦定理からAPを出す。 接弦定理から、∠HAP=θなので、AH=APcosθ、PH=APsinθ として計算しました。 ところが不定形になり色々変形を試みたのですが、できません。 教えてください。

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A(1、0)、P(cosθ、sinθ)とすると、垂線:PHの方程式は x=1. よって、H(1、sinθ)だから、PH=1-cosθ、AH=sinθ。 従って、(AH^2)/PH =(sinθ)^2/(1-cosθ)=1+cosθ であるから、θ → 0とするだけ。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 座標空間というアイデアは思いつきませんでした。 参考になりました。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4

#2です。 角AOPの大きさは、2θとおいた方が後が楽になると思います。 ・余弦定理から APを表して、 ・接弦定理から角OAP=○となるので、AH= AP*・・・、PH= AP*・・・と表されます。 ・AH^2/PHを計算していきますが、APが消えずに残ります。 √がついていて計算が面倒そうですが、倍角公式を用いれば「すっと」消えていきます。 ・最後は単純な極限の計算で、簡単な整数になります。 (長さで表された式なので、負になることはないですね。)

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質問者からのお礼

なるほど・・・ ありがとうございました。

  • 回答No.3

先ほどの回答で、大事な事を書き忘れてるんで、追加しておいて。 xy平面上に、原点Oを中心とする単位円:x^2+y^2=1 をとる。 ∠POx=θ とすると (以下、先ほどの回答に続く) の注釈は答案上でも必要。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。 座標空間におく という発想はすごいですね!!

  • 回答No.2

こんにちわ。 >接弦定理から、∠HAP=θなので、 角AOPは中心角なので、 接弦定理を使うためには円周角を使わないとだめですね。^^

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 ご指摘ありがとうございました。

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