数学の問題です。解き方を教えて下さい

質問

直径が10の半円があり、図のように弧AB上に2点P、QをA、P、Q、Bの順に弧PQ=1/3弧ABとなるようにとる。AQ、BPの交点をEとする。弧PQを、弧ABにそって端から端まで動かすとき、点Eが描いた線の長さを求めよ。
よろしくお願いします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

ABの中点、すなわち円の中心をOとする。ABは直径なので
∠APB＝∠AQB＝90°
弧PQ=弧AB/3＝全円周/6 ⇒ 中心角∠POQ=60°
⇒　円周角∠PAQ＝∠PBQ＝30°⇒　∠AEB=120°
よって点Eの軌跡は円周角∠AEB=120°となる⊿AEBの外接円O’であり、PとAが一致するときEも一致する。同様にQとBが一致するときEも一致する。
⊿AEBの半径をRとすると正弦定理により
AB/sin∠AEB=2R ⇒ R=(1/2) AB/sin∠AEB=(1/2)10/sin120°＝10/√3
円周角∠AEB=120°であるから弧AEBの長さは円O’の円周の1/3である。ゆえに
弧AEB＝2πR/3=(2π/3)(10/√3)=20√3π/9

お礼

お礼と補足が一緒になってしまいました。すいません。ありがとうございました。

補足

解説ありがとうございます。高校入試に向けての問題なので、sinは使わないで教えていただけると助かります。他に円O'の半径Rの出し方はないでしょうか？

回答No.2

bran111

#1です。

sinを使わないでRを求める方法：

∠AEB=１２０°であるので⊿AEBの外接円O'はABを一辺とする正三角形である。よって⊿AOO'において∠OAO'=30°、∠AOO'=60°、∠O'OA＝90°となる直角三角形でありAO'/AO=2/√3
AO＝5であるので
AO'=10/√3＝R