数IＡ平面図形の問題です。

質問

円周上に２点ａ，ｂをとり、弧ａｐ＝弧ｂｐとなるように点ｐをとる。
また、点ｐを含まない弧ａｂ上に２点ｃ、ｄをとりｃｐ、ｐｄと弦ａｂとの交点を
それぞれｅ，ｆとする。このとき、次の事を証明せよ。
（１）∠ｐｅｆ＝∠ｃｄｆ
（２）四角形ｃｅｆｄは円に内接する

この問題の解き方を教えてください
よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）
点ＡとＣ、ＣとＤを結ぶと四角形ＡＣＤBができ、これは円に内接するので、
向かい合う内角の和は１８０°です。つまり、
∠ＣＡＢ＋∠ＢＤＣ＝１８０°
また、∠ＢＤＣは∠ＢＤＦとＦＤＣに分けることができるので、
∠ＣＡＢ＋∠ＢＤＦ＋ＦＤＣ＝１８０°　・・・（１）

∠ＢＤＦと∠ＥＣＡはそれぞれＰＢ、ＡＰに対する円周角ですが、
ＰＢとＡＰは長さが等しいので、
∠ＢＤＦ＝∠ＥＣＡ　・・・（２）

次に△ＡＣＥについて、内角の和は１８０°なので、
∠ＥＣＡ＋∠ＣＡＥ＋∠ＡＥＣ＝１８０°・・・（３）

（３）に（１）を代入すると
∠ＢＤＦ＋∠ＣＡＥ＋∠ＡＥＣ＝１８０°
∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＢなので、
∠ＢＤＦ＋∠ＣＡＢ＋∠ＡＥＣ＝１８０°
これと（１）を比較すると、∠ＦＤＣ＝∠ＡＥＣ

（２）
（１）の結果から、
∠ＡＥＣ＝∠ＦＤＣであり、また、∠ＡＥＣ＋∠ＣＥＦ=１８０°なので、
∠ＦＤＣ＋∠ＣＥＦ＝１８０°
以上より、四角形ＣＥＦDの向かい合う内角の和が１８０°なので、
この四角形は円に内接します。

お礼

こちらの回答がわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

yyssaa

（１）∠ｐｅｆ＝∠ｃｄｆ
＞分かり易く補助線cd,cb,ap,pbを描く。
円周角の定理と△apbが二等辺三角形であることから
∠pcb=∠pab=∠pba・・・・・(1)
∠bcd=∠bpd・・・・・・・・・・・(2)
△pebの内角の和より∠pef=180°-∠pba-∠bpd-∠cpd・・・・・(3)
△cpdの内角の和より∠cdf=180°-∠pcb-∠bcd-∠cpd・・・・・(4)
(3)の右辺の第二項及び第三項は(1)及び(2)によりそれぞれ
(4)の右辺の第二項及び第三項と等しいので、(3)及び(4)の左辺は
等しい(証明終わり)
（２）四角形ｃｅｆｄは円に内接する
＞（１）の結果を使って
∠cef=180°-∠pef=180°-∠cdf
よって∠cef+∠cdf=180°
対角の和が180°だから四角形cefdは円に内接する(証明終わり)