三角比？

質問

1辺の長さがacm(センチメートル)の正三角形ABCが円Oに内接している。

(1)点Aを含まない方の弧BCの上に AP=xセンチメートルとなるような点Pをとるとき、 BP+CPは何センチか。

(2)AP^2+BP^2+CP^2/OA^2 を求めよ。

お願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

問１
BP=y,CP=z とおく。下の図で円周角は等しいから
∠APC=∠ABC=60°、∠APB=∠ACP=60°

三角形ABPにおいて、余弦定理から
a^2=x^2+y^2-2xycos60°
a^2=x^2+y^2-xy　　…（1)

三角形ACPにおいて同様に
a^2=x^2+z^2-2xzcos60°
a^2=x^2+z^2-xz　　…（2）

(1)-(2)=0から
y^2-xy-(z^2-xz)=0
(y-z)(y+z-x)=0
y=z　または　y+z=x

ここでy=zのとき三角形BPCにおいて余弦定理から
a^2=y^2+z^2-2yzcos120°
a^2=y^2+y^2+y^2 より、y=z=a/√3 だから　y+z=2a/√3であり、
（1）にy=a/√3　を代入するとx=2a/√3　だからy+z=xに含まれる。
したがって　BP+CP=x(cm)

問２
三角形BPCにおいて、余弦定理から
a^2=y^2+z^2-2yzcos120°
a^2=y^2+z^2+yz だから
yz=a^2-(y^2+z^2)これを
問１の結果から得られたx=(y+z）を2乗した
x^2=y^2+2yz+z^2 に代入すると
x^2=y^2+z^2-2(a^2-(y^+z^2))=2a^2-y^2-z^2 だから
x^2+y^2+z^2=2a^2
またOA(1辺がaの正三角形の外接円の半径)=a/√3　であるから
(AP^2+BP^2+CP^2)/OA^2=2a^2/(a^2/3)=6

お礼

丁寧にありがとうございました！

回答No.2

staratras

No.1です。問2の誤記を訂正します。失礼しました。
誤：x^2=y^2+z^2-2(a^2-(y^+z^2))=2a^2-y^2-z^2 だから
正：x^2=y^2+z^2+2(a^2-(y^2+z^2))=2a^2-y^2-z^2 だから