三角比

質問

半径3の円に内接する三角形ABCがあり、AB=5,AC=2とする。
このとき辺BCの長さを求める。

図で書くと2通りのパターンが表されるのがわかるのですが、いずれの場合もLBは鋭角ということがわかりません。
それから、どうやってBCを求めるのでしょうか？
お願いします

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

>いずれの場合もLBは鋭角より
>cosB>0の意味がわかりません。

△ＡＢＣにおいて、a=ＢＣ,b=ＣＡ,c=ＡＢ　とします。
（大文字Ａ～Ｃは頂点、小文字a～cは辺です）
∠Ａ（∠ＢＡＣ）とa，∠Ｂ（∠ＡＢＣ）とb，∠Ｃ（∠ＢＣＡ）とc
を対応づけます。このとき、最も長い辺に対応する角が最も大きくなります。
（ちなみに、角Ａ～Ｃに対し辺a～cをその角の対辺と言います。）

鋭角というのは９０°未満の角度を指し、９０°より大きい角を鈍角といいます。
三角形の内角の和は１８０°なので、１つの三角形には鈍角はあっても１つしかありえません。
（もし、２つあるとするとその２つだけで和が180を超えてしまいます。）
そして、鈍角があればそれがこの三角形の３つの角の中で最大のものになります。（鈍角以外の２つの角の和は90°未満であり、当然それぞれの角も90°未満なので、鈍角が最大になるのは当たり前ですね。）

ここで、∠Ｂに対する辺は、b=ＣＡ＝ＡＣ＝２であり、ＡＢ＝５なので、bが最長になることはありません。
従って、∠Ｂも最大角であることはありません。
最大角でない⇒鈍角にはなり得ない⇒鋭角である、ということです。

鋭角、つまり、0<∠Ｂ<90　のときは　必ずcosＢ＞0となります。（cosの定義を考えれば分かるでしょう。）

BCの求め方は、大筋#1の方のアドバイスどおりですが、sinAでなく、sinBを求める方がいいでしょう。
円に内接する三角形　⇒三角形側からみると、その円は外接円になりますね。
正弦定理から
b/sinB = 2/sinB = 2*3 ∴sinB = 2/6 = 1/3
(sinB)^2+(cosB)^2 = 1　より
(cosB)^2 = 1-(1/3)^2 =8/9
ここで cosB >0 が使えて　cosB = (2√2)/3
あとは余弦定理
b^2 = c^2+a^2 -2ca*cosB
に b=AC=2, c=AB=5, cosB=(2√2)/3　を代入して
a(=BC)を求めるだけです。

回答No.2

0shiete

円の中心をＯとします。

以下、Ｏが△ＡＢＣ内に含まれるときの場合について
方針をかきます。
cos∠ＯＡＢ=5/6
cos∠ＯＡＣ=1/3

中心角は円周角の２倍なので
∠ＢＯＣ=２∠ＢＡＣ＝２∠ＯＡＢ＋２∠ＯＡＣ

△ＢＯＣは二等辺三角形より
ＢＯ＝ＣＯ＝３がわかっており
∠ＢＯＣがわかっているので
ＢＣが求まる。

補足

ありがとうございます。
いずれの場合もLBは鋭角より
cosB>0の意味がわかりません。
もし由来がわかるのならおしえていただけないでしょうか？

回答No.1

noname#24477

角Bに対する辺はACで、これは最大辺ではありません。
鈍角はあるとしても三角形にひとつしかなく、これに対する辺は最大です。

正弦定理でsinAを求め、これからcosAを計算し
余弦定理でBCを求めます。