三角比

質問

半径3の円に内接する三角形ＡＢＣがあり、ＡＢ＝5,AC=2とする。
このとき辺ＢＣの長さを求める問題

コンパスで作図する方法はわかったのですが、点Aから直線BCに垂線を下ろし、その交点をＩとする図がよくわかりません。

コンパスで作図する図と違うのですが、この図はどのような考えて表されているのですか？

それから、なぜLＢは鋭角といえるのでしょうか？
図をみればそれはわかるのですが、理論上どのように求めるかわかりません。

ＡＣ＞５はなぜ純角といえるのですか？
そして、なぜ直角だと純角といえるのですか？

おしえてください。

回答No.4

kony0

この問題にはずいぶんレス書きましたが、∠Bが鋭角であることの初等幾何的証明は、この定理を使います。
（定理）△ABCにおいて、AB>AC のとき、∠C>∠Bである。
（証明）AB>ACだから、「辺AB上」にAD=ACとなる点Dをとることが可能。
∠C=∠ACD+∠DCB=∠ADC+∠DCB=(∠DBC+∠DCB)+∠DCB=∠B+2∠DCB
したがって、∠C>∠B（証明終）

回答No.3

nich

下の回答で、一部ミスがありました。
cosB=-2√2/3 (マイナスがぬけてました。)

余弦定理の式も
４＝２５＋x^２＋２・５・ｘ・2√2/3
となります。
あとは正しいはず。
＞点Aから直線BCに垂線を下ろし、その交点をＩとする図
三角形は二通りある。交点Iは必ずしも線分BC上とは限りません。直線BC上にある場合もあります。

回答No.2

nich

じゃあ、仮に∠Bが鈍角と仮定してみよう。
まず、正弦定理から、sinB=1/3だよね。
∠Bが鈍角、ってことからcosB<0だから、cosB=２√２/3

それで、BC＝ｘと置いて三角形ABCに余弦定理を用いると、

４＝２５＋ｘ^２－２・５・ｘ・２√２/3
でしょ。
これを解いてみると、この解は二つとも負になってしまう。
しかし、ｘは辺の長さであるからｘ＞０
これは矛盾。よって∠Bは鋭角。
分かったかな？

回答No.1

kurobe3463

純角って鈍角（どんかく）のことかな

＞LＢは鋭角
これは∠Bのことかな？
これが鋭角といえるのは，AB=5 より短い AC=2 の対角だからです．三角形の角で鈍角になりうるのは，一番長い辺の対角だけ．それ以外は鋭角ですから，5より短い 2 の対角は絶対に鋭角．

＞ＡＣ＞５はなぜ純角
∠BAC が鈍角であるのは，次の通り．
∠BAC が直角なら外接円の円周角だから BCは直径の6.
そのとき，三平方の定理で AB=√32.
実際はAB=5 で√32 より短いから，AB=√32 の直角三角形より B は A に近い．したがって，∠BAC は直角より大きくなり，鈍角．

さて，この問題は加法定理（数学II）をつかえば，補助線なしで求まりますが，三角比（数学I）だから A から BC に垂線AI を下ろし直角三角形AIB，AIC に分割して答えるわけですね．
∠BAC が鈍角だからBC に垂線AI を下ろせば，I は必ず線分BC上に乗って，二つの直角三角形に分割されるわけだ．
あとは余弦定理だの正弦定理だのを使って AI を求め BI，IC が求まり BC が求まるという手順．