余弦定理をどのように使えば・・・？

質問

原点中心、半径ｒの円に内接する正三角形をＡＢＣ、弧ＢＣ上の点をＰとする。ＡＰ２乗＋ＢＰ２乗＋ＣＰ２乗が一定値をとることを示せ。なお、ＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰであることを使ってもよい。
　（→ＡＰ２乗＋ＢＰ２乗＋ＣＰ２乗をｒの式で表せば良い。）

この問題を昨日から考えているのですが解けません。
先生からは、余弦定理を使うと解ける、と言われました。

私は、△ＡＰＣ、△ＡＢＰ、△ＢＰＣで余弦定理を使って、
　ＡＣ２乗＝ＣＰ２乗＋ＡＰ２乗－２ＡＰ・ＣＰ・cos６０°
　ＡＢ２乗＝ＢＰ２乗＋ＡＰ２乗－２ＢＰ・ＡＰ・cos６０°
　ＢＣ２乗＝ＢＰ２乗＋ＣＰ２乗－２ＰＢ・ＰＣ・cos１２０°
と出し、これをすべて足したのですが、どうしてもＰＢとＰＣが消去できません。

この方法では間違っていますか。また、余弦定理を使った正しい回答も、教えていただきたいです。

回答No.1

debut · ベストアンサー

たすのは、１番目と２番目だけのような。

AC^2+AB^2
=CP^2+AP^2+BP^2+AP^2-AP・CP-BP・AP
=CP^2+AP^2+BP^2+AP^2-AP(CP+BP)
=CP^2+AP^2+BP^2+AP^2-AP^2
=AP^2+BP^2+CP^2

となります。

お礼

回答のおかげで無事に解くことができました！

とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

△OABで∠ABO=120°,余弦定理より
AB^2=r^2+r^2-2r*rcos120°=3r^2
AB=r√3=BC=CA…(★) (∵△ABCは正三角形)

３つの式を加えると
3AB^2=2(AP^2+BP^2+CA^2)+PB*PC-AP*CP-AP*BP
9r^2=2(AP^2+BP^2+CA^2)+PB*PC-AP*(CP+BP)

>ＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰであることを使ってもよい。
を使うと
9r^2=2(AP^2+BP^2+CP^2)+BP*CP-(BP+CP)^2
2(AP^2+BP^2+CP^2)=9r^2-(BP^2+CP^2+BP*CP)…(■)

△OBCで∠BOC=120°,余弦定理より
BC^2=BP^2+CP^2-2BP*CPcos120°=BP^2+CP^2+BP*CP…(●)
(★)から
BP^2+CP^2+BP*CP=(r√3)^2=3r^2
(■)に代入
2(AP^2+BP^2+CP^2)=9r^2-3r^2=6r^2

∴AP^2+BP^2+CP^2=3r^2

お礼

詳しい回答をどうもありがとうございます。

私の考えていた解法とはかなり違って、このような考え方もあるのだな、と新たな視点から問いを見ることができました。

ただ一つだけ、最終的なAP^2+BP^2+CP^の値は6r^2が正解でした。一応、書いておきます。

それでは、とても参考になりました。ありがとうございました。