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余弦定理をどのように使えば・・・?

原点中心、半径rの円に内接する正三角形をABC、弧BC上の点をPとする。AP2乗+BP2乗+CP2乗が一定値をとることを示せ。なお、AP=BP+CPであることを使ってもよい。  (→AP2乗+BP2乗+CP2乗をrの式で表せば良い。) この問題を昨日から考えているのですが解けません。 先生からは、余弦定理を使うと解ける、と言われました。 私は、△APC、△ABP、△BPCで余弦定理を使って、  AC2乗=CP2乗+AP2乗-2AP・CP・cos60°  AB2乗=BP2乗+AP2乗-2BP・AP・cos60°  BC2乗=BP2乗+CP2乗-2PB・PC・cos120° と出し、これをすべて足したのですが、どうしてもPBとPCが消去できません。 この方法では間違っていますか。また、余弦定理を使った正しい回答も、教えていただきたいです。

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たすのは、1番目と2番目だけのような。 AC^2+AB^2 =CP^2+AP^2+BP^2+AP^2-AP・CP-BP・AP =CP^2+AP^2+BP^2+AP^2-AP(CP+BP) =CP^2+AP^2+BP^2+AP^2-AP^2 =AP^2+BP^2+CP^2 となります。

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質問者からのお礼

回答のおかげで無事に解くことができました! とても参考になりました。ありがとうございました。

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△OABで∠ABO=120°,余弦定理より AB^2=r^2+r^2-2r*rcos120°=3r^2 AB=r√3=BC=CA…(★) (∵△ABCは正三角形) 3つの式を加えると 3AB^2=2(AP^2+BP^2+CA^2)+PB*PC-AP*CP-AP*BP 9r^2=2(AP^2+BP^2+CA^2)+PB*PC-AP*(CP+BP) >AP=BP+CPであることを使ってもよい。 を使うと 9r^2=2(AP^2+BP^2+CP^2)+BP*CP-(BP+CP)^2 2(AP^2+BP^2+CP^2)=9r^2-(BP^2+CP^2+BP*CP)…(■) △OBCで∠BOC=120°,余弦定理より BC^2=BP^2+CP^2-2BP*CPcos120°=BP^2+CP^2+BP*CP…(●) (★)から BP^2+CP^2+BP*CP=(r√3)^2=3r^2 (■)に代入 2(AP^2+BP^2+CP^2)=9r^2-3r^2=6r^2 ∴AP^2+BP^2+CP^2=3r^2

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質問者からのお礼

詳しい回答をどうもありがとうございます。 私の考えていた解法とはかなり違って、このような考え方もあるのだな、と新たな視点から問いを見ることができました。 ただ一つだけ、最終的なAP^2+BP^2+CP^の値は6r^2が正解でした。一応、書いておきます。 それでは、とても参考になりました。ありがとうございました。

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