数学IIの三角関数の問題です（入試レベル）

質問

再来年の受験を控えた高校２年です。
インターネット上で見つけた問題なのですが、一晩考えてもわかりませんでした。
解答が載ってなく、ＨＰを運営している方にメールを送っても音沙汰がないので、
ここで質問させてください。わかる方いましたら、お願いします。
私は今のところあまり数学が得意ではないので、できるだけ詳しいな解答をお願いします。

半径1の円に内接する三角形ABCと、円周上を動く点Pがある。

(1)AP^2+BP^2+CP^2が一定の値であることを示せ。

(2)AP+BP+CPのとりうる値の範囲を求めよ。

回答No.4

debut

No2です。再開。

(1)の回答は、Ｐが弧ＡＣ上のものですが、弧ＡＢ上、弧ＢＣ上も
同様です。
(2)はAP=x,BP=y,CP=z,AP+BP+CP=kとすれば(1)から
x^2+y^2+z^2=6・・(ア)
xz-xy-yz=-3・・(イ)
x+y+z=k・・(ウ)
(ウ)からz=k-(x+y)を(ア),(イ)に代入すると
(ア)は2x^2+2y^2+2xy-2kx-2ky+k^2-6=0
(イ)は-x^2+y^2-xy+kx-ky+3=0
下を２倍して上に加えると
4y^2-4ky+k^2=0
(k-2y)^2=0
k=2y
ｙはＢＰのことで、今、Ｐが弧ＡＣ上を考えているのでＢＰの
最小は正三角形の１辺(＝√３)と等しいとき、最大は外接円の直径
(＝２)になるときです。
よって、２√３≦ｋ≦４　となります。

回答No.3

naniwacchi

(1)は、#2さんが回答されていますね。
別の方法として、ベクトルを使う方法もあります。
簡単に手順だけ書いておきます。
・内心を点Oとして、位置ベクトルの原点とします。
・|AP↑|^2+ |BP↑|^2+ |CP↑|^2を OA↑、OB↑、OC↑、OP↑を用いて表します。
・点Oについては OA↑+OB↑+OC↑=0↑が成り立ちます。これを適用すると、値が 6となります。

(2)ですが、これは座標を適当に置きましょう。
これも手順を示しておきます。
・OAを x軸とすると、角BOA= 2π/3、角COA= 4π/3とすることができます。
また、角POA=θ（0≦θ≦π/3）とおきます。
・角POB、角POCはθを用いて表すことができます。
・三角形OAP、三角形OBP、三角形OCPは、二等辺三角形ですので、AP、BP、CPをθを用いて表すことができます。
・AP+BP+CPを計算します。（加法定理を使って整理します）

θは 0≦θ≦π/3（弧ABの間）と置きましたが、
点Pが弧BCの間であっても、弧CAの間であっても、
2π/3もしくは 4π/3回転させると同じことになります。

答えがないとのことですので、答えを書いておくと
2√3≦ AP+BP+CP≦ 4となります。

回答No.2

debut

(1)
∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝60°（円周角の定理）、正三角形ＡＢＣの
１辺は√3だから
△ＡＢＰで余弦定理より、3=AP^2+BP^2-AP*BP
△ＢＣＰで余弦定理より、3=BP^2+CP^2-BP*CP
△ＡＣＰで余弦定理より、3=AP^2+CP^2+AP*CP
これらを辺々加えて
９＝2(AP^2+BP^2+CP^2)+(AP*CP-AP*BP-BP*CP)・・・☆
一方、△ＡＢＣ＋△ＡＣＰ＝△ＡＢＰ＋△ＢＣＰなので面積の式
から
(3√3)/4+{(√3)/4}(AP*CP)={(√3)/4}(AP*BP+BP*CP)
整理して
AP*CP-AP*BP-BP*CP=-3
よって、☆からAP^2+BP^2+CP^2=６

事情により時間切れ。すみません。

回答No.1

nag0720

(1)は任意の内接三角形で成り立つことはありません。

内接する三角形ABCになにか条件があるのではないですか？
例えば正三角形とか。

補足

すみません。
「正三角形ABC」でした。
よろしくお願いします。