数学I 三角比の問題です

質問

どんな参考書にも目を通したのですが、辺の長さが、比の表示のこの問題だけ約１週間かても解けません。おわかりになられる方いらっしゃれば、解説を兼ねて、解答よろしくおねがいします。

Q.△ABCにおいてA＝120度、a:b＝７：５、c＝６であるとき、次の問いに答えよ。

(1)sinBの値

(2)bの値

(3)△ABCの値

(4)△ABCの外接円の半径

(5)△ABCの内接円の半径

以上５問ですが、問題集には答えのみしか載っていなく、途中経過がまったく理解できませんので、解説よろしくお願いします

回答No.3

debut · ベストアンサー

(1)
a=7x,b=5xとして、余弦定理より
49x^2=25x^2+36-2*5x*6*cos120°
整理して、
4x^2-5x-6=0→(4x+3)(x-2)=0→x>0よりx=2
よって、a=14,b=10とわかります。
正弦定理から、14/sin120°=10/sinB→sinB=5√3/14
(2)
b=10
(3)
△ABCの値とは何のことかわかりませんが、
面積なら、(1/2)*6*10*sin120°=15√3
(4)
外接円の半径(R)は正弦定理から
14/sin120°=2R→R=14√3/3
(5)
内接円の半径(r)は、面積=(1/2)*r*(３辺の和)から
15√3=(r/2)(6+10+14)→r=√3

お礼

細部にわたりご回答いただき、ありがとうございました。

最終的に4x^2-5x-6=0を因数分解するのですが、ここも自分は弱いところなので、再度復習していこうと思います。
ありがとうございました

回答No.5

Quattro99

比の問題で媒介変数を利用するのは常套手段です。
今回の問題の場合は、気づきやすいと思いますが、x/3=y/5=z/7を満たすときというような問題のとき、x/3=y/5=z/7=kと置いて、x=3k、y=5k、z=7kとするのはなかなか気づきにくいと思うので、知っておくといいと思います。

お礼

媒介変数というものを再度復習させていただきます
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

htms42

すでに回答は出ています。
確かに余弦定理を使えば出てきます。
でも一週間もかかって何の糸口も見つかっていないというのはどうしてでしょう。
どういう試行錯誤をやられたのですか。
あなたの数学の勉強というのは模範解答を覚える事になっているのではないですか。ここで回答を貰ったらまたこの回答を覚えるのでしょう。

行き詰っても何とかもがいてください。
図を書きましたか。
∠Ａ＝１２０°
ＡＢ＝６
ＢＣ：ＣＡ＝７：５
という条件があれば三角形が決まるということを確めてみるのがまず必要なのです。
長さ６ｃｍの線を引きます。
ＡＢに対して１２０°の方向に線を引きます。
この線の上にＡＤ＝６ｃｍの点Ｄを取ると△ＡＢＤは二等辺三角形になります。∠ＡＢＤ＝３０°です。ＡＤ：ＢＤ＝６：６√３＝１：√３＝１：１．７３ですからＡＣ：ＢＣ＝５：７＝１：１．４である点はもっと離れています。ＡＣ＞６です。
ＡＣ＝８ではＢＣはいくらになるでしょうか。物差しで計ってみればいいです。
ＡＣ＝１０ｃｍではどうでしょう。ＢＣ＝１４ｃｍあたりになりそうです。このあたりだなということが分かればそれをどうやって導くかです。余弦定理を使っても、別の幾何的な関係を使っても構いません。スマートにやる必要はありません。
ＡＣ＝ｘ、ＢＣ＝ｙと置けばｘ：ｙ＝５：７です。
ｘ、ｙについて何かあと１つ幾何的な関係を見つけて式に直せば解くことができます。１２０°という角度を使う関係です。

ＡＣの線上にＢから垂線ＡＥを下ろしてみるというのも１つの方法です。ＥはＡに対してＣの反対側になります。でも６０°の直角三角形で斜辺の長さが６ｃｍです。考えやすいです。
いろいろやってみればいいのです。

お礼

単純な質問でご回答いただき、本当にありがとうございました

回答No.2

spring135

△ABCにおいて各角A,B,Cは各辺a,b,cと向かい合っているものとします。
a/7=b/5=tとします。
(1)正弦定理より
sinB/5t=sin120°/7t
　よって
sinB=5*sin120°/7=5√3/2/7=5√3/14
(2)tを求める必要があります。正弦定理より
sinC/6=sinA/7t
よって
ｔ＝6sinA/(7sinC)
sinC=sin(180-120-B)=sin(60-B)=sin60cosB-cos60sinB(°は省略）
sinB=5√3/14より
cosB=(1-(5√3/14)^2)^0.5=11/14
よって
sinC=3√3/14
よって
t=2,
b=10
(3)以下は三角形に関する三角比等を含む各種の公式に当てはめるだけ。

お礼

ご回答いただいた
「△ABCにおいて各角A,B,Cは各辺a,b,cと向かい合っているものとします。
a/7=b/5=tとします。」

を理解すると解けたんだと思います。この問題の根底をお教えいただきありがとうございました。

回答No.1

Quattro99

a:b＝７：５なので、a=7k、b=5kと置けます。
あとは、余弦定理、正弦定理などで出来るのでは？

お礼

比なので、公式にどのような形で代入するかが、まったく検討がつきませんでした。
　ご回答ありがとうございます。