• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

数学の問題がわかりません。教えてください

△ABCにおいて、その内接円の半径をr、外接円の半径をRとするとき、次の関係が成り立つことを示せ。(1)a=rsin(B/2 + C/2) / sinB/2sinC/2  (2)r=4RsinA/2sinB/2sinC/2 以上が問題です。よろしくお願いいたします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • longsu
  • ベストアンサー率32% (9/28)

問題が内心を扱っているので、たぶん(A/2)(B/2)(C/2)で括っていいとは思いますが、#1の指摘は正論ですよ。以下はその前提でのストーリーです。 (1)は絵に描いてみて、aとrと∠(B/2)、∠(C/2)の間にどういう関係式が成り立つかがわかれば楽勝です。 内心から辺BCに垂線をおろしてa=a1+a2とでもしてやると、 r=a1tan(B/2)=a2tan(C/2) が導けます。後はa1,a2をr,B,Cで表してa=の式に入れて、tanをsin,cosで表して通分し、分子にsinの加法定理を適用すれば終わりです。 (2)は少々手強いですが、大雑把に方針を言いますと、まずRをa,b,cで表します(正弦定理、余弦定理)。R^3の計算になりますが、どうにかなります。rはヘロン公式から単純に求められます。ちなみにヘロン公式は三辺から三角形の面積を求めるものですが、三角形の三辺の合計を底辺にしたとき、内接円の半径が高さに相当することは当たり前のことです。もし知らなかったら、確認しておいてください。 もう少し丁寧にいうと、まず正弦定理から R^3=abc/8sinA/sinB/sinC です。sinはダイレクトにはa,b,cで表現できないので√(1-cos^2)にしてから余弦定理です。 sin(A/2)は半角公式からcosAで表してやれば余弦定理が適用できます。 計算力をつける意味でもきちんとやってみることをおすすめします。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。未熟な入力方法でここまで解答してくださったこと感謝致します。次回からの投稿は解答される方にわかりやすい説明の方法で行いたいと思います。ご指摘ありがとうござました。大変助かりました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

質問者は始めての質問のようだ。HNをクリックするとわかる。従って、書き方が解らないのは致し方ない。 いちいち煩い事言ってるから、こんな簡単な問題が難しく見えるんだ。 (2)だけ答えておく。 AB=c、BC=a、CA=bとし、∠A=2α、∠B=2β、∠C=2γとする。α+β+γ=π/2. 正弦定理から、a=2Rsin2α、b=2Rsin2β、c=2Rsinγ ‥‥(1) 設問(1)から、a=r*cosα/(sinβ*sinγ)であるから、同様にして、b=r*cosβ/(sinα*sinγ) 、c=r*cosγ/(sinβ*sinα)‥‥(2) (1)と(2)をかけてabcを作ると、r^3*(cosα)*(cosβ)*(cosγ)=64R^3*(cosα)*(cosβ)*(cosγ)*(sinα)^3*(sinα)^3*(sinα)^3 となる。 r、R、cosα、cosβ、cosγ、sinα、sinβ、sinγ は全て正から、r=4R*sinα*sinβ*sinγ で終り。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。入力方法の件、ご指摘ありがとうございます。次回からは画像添付などわかりやすく対応致します。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

何が分子で何が分母か, あるいはどこまでが sin の引数なのか, さっぱりわかりません. 例えば (2) の式の右辺は ・4R [(sin A)/2][(sin B)/2][(sin C)/2] ・4R sin [A/(2sin {B/[2sin (C/2)]})] などなど, 非常に多くの解釈が存在しえます. 括弧を適切に使って, 一意に解釈できるように書いてください.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わかり難い表現で申し訳ありません。投稿を見ていただきありがとうございました。次回質問する際にはわかりやすく説明致します。

関連するQ&A

  • 数I 三角形の問題

    △ABCにおいて、sinA/2=sinB/3=sinC/4=のとき、次の値を求めよ。 (1)cosA   (2)sinA  (3)tanA △ABCにおいて、a=7、b>c、A=120°、面積S=15/4√3であるとき、次の値を求めよ。 (1)外接円の半径R  (2)b、c  (3)内接円の半径r お時間のある方、手助けお願いします。

  • 数学の問題で分からないのがあります。

    ・△ABCにおいて、BC=3, ∠B=45°,∠C=75°のとき、ACの長さと外接円の半径を求めてください。(途中式もお願いします。)  ・△ABCにおいて、AB=3、AC=4,∠A=60°のとき、BCの長さを求めてください。(途中式もお願いします。) ・△ABCにおいて、sinA:sinB:sinC=2:3:4のとき、最大角の余弦の値を求めてください。(途中式もお願いします。) ・円に内接する四角形ABCDがあり、AB=3,BC=4,CD=5,DA=6とする。∠A=θとおくとき、cosθの値を求めてください。(途中式もお願いします。)

  • 数学I正弦定理

    三角形ABCにおいて、b=3√2, A=45°のとき、外接円の半径Rを求めよ。 (ヒント)正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R の中からa/sinA = 2Rの      部分を取り出して利用する。Rは外接円の半径である。 どなたかこの問題の解答お願い致します。

  • 【問題】三角形ABCにおいて,(sinA)/6=(sinB)/5=(s

    【問題】三角形ABCにおいて,(sinA)/6=(sinB)/5=(sinC)/4が成り立っている。 (1)cosA,sinAの値を求めよ。 (2)三角形ABCの内接円の半径が1であるとき,ABの長さ,三角形ABCの面積を求めよ。 (1)はsinA:sinB:sinC=a:b:cを使ってcosA=1/8,sinA=3√7/8と求めました。 (2)が全然わかりません^^; どなたかよろしくお願いします。

  • 三角関数で分からない問題があります。お願いします。

    三角形ABCにおいてsinA/6=sinB/5=sinC/4が成り立つことから以下の問題に答えなさい。 (1)cosA、sinAをの値を求めなさい。 (2)三角形ABCに内接する円の半径が1のとき、ABの長さ、三角形ABCの面積、三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。 正弦定理を使うことはわかりますが、どう使えばよいのか分かりません。お願いします。

  • 数学I 三角比の問題です

    どんな参考書にも目を通したのですが、辺の長さが、比の表示のこの問題だけ約1週間かても解けません。おわかりになられる方いらっしゃれば、解説を兼ねて、解答よろしくおねがいします。 Q.△ABCにおいてA=120度、a:b=7:5、c=6であるとき、次の問いに答えよ。 (1)sinBの値 (2)bの値 (3)△ABCの値 (4)△ABCの外接円の半径 (5)△ABCの内接円の半径 以上5問ですが、問題集には答えのみしか載っていなく、途中経過がまったく理解できませんので、解説よろしくお願いします

  • 三角形におけるあまり知られていない関係式、京大入試より

    三角形ABCにおいて、辺の長さ、角度、面積、外接円の半径、内接円の半径などにおいて、基本となる関係式は、 三角不等式 内角の和は180度 面積の公式 正弦定理 余弦定理 などだと思います。 ところで、2005年の京大入試などによると、 http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho05/kyoto/koki/sugaku_bun/mon3.html 三角形ABCにおいて、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、 cosA+cosB+cosC=1+r/R、 1<cosA+cosB+cosC≦3/2 が成り立つようです。これはあまり知られていないと思います。 このことの証明や、それが書かれたサイト、また、 cosA*cosB*cosC、 sinA+sinB+sinC、 sinA*sinB*sinC、 において、成り立つ関係式や不等式の事実があれば教えていただけないでしょうか。

  • 代数の問題です

    中3・代数の問題です。 解答がなくて困っています。 どうか教えてください!よろしくお願いします! (1) △ABCにおいて、次の値を求めなさい。 (1)a=4√6、A=60°、B=45°のとき、bと外接円の半径R (2)c=12、A=15°、B=120°のとき、bと外接円の半径R (2) △ABCにおいて、次の値を求めなさい。 (1)b=4、c=6、A=60°のとき、a (2)a=7、b=8、c=13のとき、C (3)A=45°、C=75°、a=2のとき、b、c (3) △ABCにおいて、b=√7、c=2、B=120°のとき、aの値を求めなさい。 (4) 次の△ABCの面積Sを求めなさい。 a=√5、c=2、cosB=-1/3 (5) △ABCにおいて、a=8、b=7、c=6であるとき次の問いに答えなさい。 (1)cosC、sinCの値を求めなさい。 (2)△ABCの面積Sを求めなさい。

  • 数学Iの問題です^^;

    【問題】 ΔABCにおいて,外接円の半径をR,内接円の半径をrとおく。また,∠ABC=θとおく。 (1)rをa,b,c,θを用いた式で表せ。 (2)a=1,b=cのとき,r/Rの最大値を求めよ。 【自分なりの解答】 (1) 1/2*b*c*sinθ=r/2*(a+b+c)だから r=b*c*sinθ/(a+b+c) (2)(1)よりr=b^2*sinθ/(2b+1)と表せる。 また正弦定理より,R=1/(2sinθ)と表せる。 これよりr/R=2*b^2*(sinθ)^2/(2b+1)と表せる。 これからわかりません^^; まず、こういうやり方で合っているのかもわかりません^^; どなたかよろしくお願いします。

  • 余弦定理

    △ABCにおいて、A=60°,b=8,c=5のとき次の値を教えてください。 1.a 2.△ABCの面積S 3.外接円の半径R 4.内接円の半径r 教えてください、お願いします。