数学Iの問題です＾＾；

質問

【問題】
ΔABCにおいて,外接円の半径をR,内接円の半径をrとおく。また,∠ABC=θとおく。
(1)rをa,b,c,θを用いた式で表せ。
(2)a=1,b=cのとき,r/Rの最大値を求めよ。

【自分なりの解答】
(1) 1/2*b*c*sinθ=r/2*(a+b+c)だから r=b*c*sinθ/(a+b+c)
(2)(1)よりr=b^2*sinθ/(2b+1)と表せる。
また正弦定理より,R=1/(2sinθ)と表せる。
これよりr/R=2*b^2*(sinθ)^2/(2b+1)と表せる。
これからわかりません＾＾；
まず、こういうやり方で合っているのかもわかりません＾＾；

どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1)
>∠ABC=θとおく。
なので
>(1) (1/2)*b*c*sinθ=(r/2)*(a+b+c)だから
左辺が間違っていませんか？
正：(1/2)*a*c*sinθ

したがって、r=も間違い？
正：r=ac*sinθ/(a+b+c)

それとも
>∠ABC=θとおく。
これが間違い？
正:∠BAC=θとおく。
であれば、上の間違いは間違いでなくなる。

◆◆　どちらが正しいですか?　◆◆　問題の方、あなたの解答の方？

(2)
===問題のθの角が正しい場合は===
(1)の間違いが波及して
>(1)よりr=b^2*sinθ/(2b+1)と表せる。
は間違いとなります。
正：r=bsinθ/(1+2b)
>また正弦定理より,R=1/(2sinθ)と表せる。
間違い。
正：R=b/(2sinθ)
>これよりr/R=2*b^2*(sinθ)^2/(2b+1)と表せる。
間違い。
正：r/R={2/(1+2b)}(sinθ)^2
={2/(1+2b)}{1-(cosθ)^2}
余弦定理より
　cosθ=(1+b^2-b^2)/(2b)=1/(2b)
r/R={2/(1+2b)}{1-1/(4b^2)}
=(2b-1)/(2b^2)=f(b)とおく。
f'(b)=0のbを求めてグラフを描いて、f(b)の最大値を求めると
　f(1)=1/2　←　(r/R)の最大値　このとき(b=c=1,θ=∠B=π/3(=60°)
このとき b=c=a=1なので△ABCは正三角形ということです。

もし問題のθが∠BAC（∠A）の間違いであれば
　上と同様に
　r/R=2*b^2*(sinθ)^2/(2b+1)={2*(b^2)/(2b+1)}*{1-(cosθ)^2}
余弦定理から
cosθ=(b^2+b^2-1)/(2b^2)=(2b^2-1)/(2b^2)なので
　r/R={1/(2(2b+1)b^2)}{4b^4-(2b^2-1)^2}
=(2b-1)/(2b^2)
これは∠ABC=θの場合の式と偶然同じになりましたね。
したがって上と同じやり方をすれば b=c=1,θ=∠A=π/3(=60°)
となって、b=c=a=1なので△ABCは正三角形になりますね。

お礼

ありがとうございました('▽'*)ﾆﾊﾟｯ♪

補足

回答ありがとうございます！
(2b-1)/(2b^2)の最大値の求めかたなんですけど…
数学1の範囲で求めるなら、どのような方法がありますか？？

回答No.5

mister_moonlight

＞(2b-1)/(2b^2)の最大値の求めかたなんですけど…
＞数学1の範囲で求めるなら、どのような方法がありますか？？

一番簡単なのは判別式だろう。

(2b-1)/(2b^2)＝k　‥‥(1)とすると　（b＞1/2）分母を払うと、2k*b＾2-2b＋1＝0‥‥(2)
(1)からk≠0だから、これはbの2次方程式。実数解をもつから判別式≧0　→　k≦1/2。この時、(2)からb＝1.
これは、b＞1/2を満たすから解である。

判別式は色んなところで有効であるから、先ず判別式を考える（必要条件だが）と良いだろう。

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

info22

#2です。

>(2b-1)/(2b^2)の最大値の求めかたなんですけど…
三角形の構成条件から
b-b<1<b+b　より　(1/2)<b<∞
t=1/bとおくと　0<t<2
(2b-1)/(2b^2)=-(1/2)(t^2-2t)
=(1/2)-(1/2)(t-1)^2≦1/2 (等号はt=1の時)

最大値は1/2、この時 b=1/t=1
となります。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

naniwacchi

#1です。

三角不等式は、「2辺の和は、他の1辺よりも長い」ということですから、
a+ b＞ cより、1+ b＞ b（これは自明ですね）
b+ c＞ aより、2b＞ 1 ⇒ b＞ 1/2
c+ a＞ bは、1番目と同じで自明ですね

(2b-1)/(2b^2)が (2b+1)/(2b^2)ならば、相加・相乗平均の関係を用いることができますが…
あ！こういう方法があります。

2b-1= tとおくと、t＞ 0となります（上の三角不等式より）。
2b= t+ 1を代入すると、
(2b-1)/(2b^2)
＝ (2t)/(t+1)^2
＝ 2/(t+ 2+ 1/t)
≦ 2/{ 2+ 2* √(t* 1/t)} = 1/2
（等号成立は、t= 1/tより t= 1）

#2さんの回答の最後の方で、少しコメントを。
＞これは∠ABC=θの場合の式と偶然同じになりましたね。
これは偶然ではなく、θは辺の長さから決まる（逆も言えます）ので、
角度を用いずに辺の長さで表せば同じになるはずです。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

naniwacchi

図を描いて、よく見ないとだめですよ >_<

(1) S= 1/2* b *c * sinθではないですよ。
θは角Ｂのことですから、この角をはさむ 2辺は…

(2) まず、三角不等式から bの取りうる範囲は求めておきましょう。
次に b= cのとき、θは二等辺三角形の底角になっています。

他に考えられる条件式はないですか？
たとえば、余弦定理はまだ使ってないですよね ＾＾

最後は微分を使うと、答えがすっと出るのですが数学Iの範囲だけで出すのが…。

(2)の図を描いたときに、θもしくは bが「ちょうどいい」とき、
r/Rの比が最大になることは予想がつくと思います。

お礼

ありがとうございました！

補足

どのような三角不等式が導き出せますか？？＾＾；