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数学Iの問題です^^;

【問題】 ΔABCにおいて,外接円の半径をR,内接円の半径をrとおく。また,∠ABC=θとおく。 (1)rをa,b,c,θを用いた式で表せ。 (2)a=1,b=cのとき,r/Rの最大値を求めよ。 【自分なりの解答】 (1) 1/2*b*c*sinθ=r/2*(a+b+c)だから r=b*c*sinθ/(a+b+c) (2)(1)よりr=b^2*sinθ/(2b+1)と表せる。 また正弦定理より,R=1/(2sinθ)と表せる。 これよりr/R=2*b^2*(sinθ)^2/(2b+1)と表せる。 これからわかりません^^; まず、こういうやり方で合っているのかもわかりません^^; どなたかよろしくお願いします。

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(1) >∠ABC=θとおく。 なので >(1) (1/2)*b*c*sinθ=(r/2)*(a+b+c)だから 左辺が間違っていませんか? 正:(1/2)*a*c*sinθ したがって、r=も間違い? 正:r=ac*sinθ/(a+b+c) それとも >∠ABC=θとおく。 これが間違い? 正:∠BAC=θとおく。 であれば、上の間違いは間違いでなくなる。 ◆◆ どちらが正しいですか? ◆◆ 問題の方、あなたの解答の方? (2) ===問題のθの角が正しい場合は=== (1)の間違いが波及して >(1)よりr=b^2*sinθ/(2b+1)と表せる。 は間違いとなります。 正:r=bsinθ/(1+2b) >また正弦定理より,R=1/(2sinθ)と表せる。 間違い。 正:R=b/(2sinθ) >これよりr/R=2*b^2*(sinθ)^2/(2b+1)と表せる。 間違い。 正:r/R={2/(1+2b)}(sinθ)^2 ={2/(1+2b)}{1-(cosθ)^2} 余弦定理より  cosθ=(1+b^2-b^2)/(2b)=1/(2b) r/R={2/(1+2b)}{1-1/(4b^2)} =(2b-1)/(2b^2)=f(b)とおく。 f'(b)=0のbを求めてグラフを描いて、f(b)の最大値を求めると  f(1)=1/2 ← (r/R)の最大値 このとき(b=c=1,θ=∠B=π/3(=60°) このとき b=c=a=1なので△ABCは正三角形ということです。   もし問題のθが∠BAC(∠A)の間違いであれば  上と同様に  r/R=2*b^2*(sinθ)^2/(2b+1)={2*(b^2)/(2b+1)}*{1-(cosθ)^2} 余弦定理から cosθ=(b^2+b^2-1)/(2b^2)=(2b^2-1)/(2b^2)なので  r/R={1/(2(2b+1)b^2)}{4b^4-(2b^2-1)^2} =(2b-1)/(2b^2) これは∠ABC=θの場合の式と偶然同じになりましたね。 したがって上と同じやり方をすれば b=c=1,θ=∠A=π/3(=60°) となって、b=c=a=1なので△ABCは正三角形になりますね。

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ありがとうございました('▽'*)ニパッ♪

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回答ありがとうございます! (2b-1)/(2b^2)の最大値の求めかたなんですけど… 数学1の範囲で求めるなら、どのような方法がありますか??

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  • 回答No.5

>(2b-1)/(2b^2)の最大値の求めかたなんですけど… >数学1の範囲で求めるなら、どのような方法がありますか?? 一番簡単なのは判別式だろう。 (2b-1)/(2b^2)=k ‥‥(1)とすると (b>1/2)分母を払うと、2k*b^2-2b+1=0‥‥(2) (1)からk≠0だから、これはbの2次方程式。実数解をもつから判別式≧0 → k≦1/2。この時、(2)からb=1. これは、b>1/2を満たすから解である。 判別式は色んなところで有効であるから、先ず判別式を考える(必要条件だが)と良いだろう。

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ありがとうございました!

  • 回答No.4
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#2です。 >(2b-1)/(2b^2)の最大値の求めかたなんですけど… 三角形の構成条件から b-b<1<b+b より (1/2)<b<∞ t=1/bとおくと 0<t<2 (2b-1)/(2b^2)=-(1/2)(t^2-2t) =(1/2)-(1/2)(t-1)^2≦1/2 (等号はt=1の時) 最大値は1/2、この時 b=1/t=1 となります。

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  • 回答No.3

#1です。 三角不等式は、「2辺の和は、他の1辺よりも長い」ということですから、 a+ b> cより、1+ b> b(これは自明ですね) b+ c> aより、2b> 1 ⇒ b> 1/2 c+ a> bは、1番目と同じで自明ですね (2b-1)/(2b^2)が (2b+1)/(2b^2)ならば、相加・相乗平均の関係を用いることができますが… あ!こういう方法があります。 2b-1= tとおくと、t> 0となります(上の三角不等式より)。 2b= t+ 1を代入すると、 (2b-1)/(2b^2) = (2t)/(t+1)^2 = 2/(t+ 2+ 1/t) ≦ 2/{ 2+ 2* √(t* 1/t)} = 1/2 (等号成立は、t= 1/tより t= 1) #2さんの回答の最後の方で、少しコメントを。 >これは∠ABC=θの場合の式と偶然同じになりましたね。 これは偶然ではなく、θは辺の長さから決まる(逆も言えます)ので、 角度を用いずに辺の長さで表せば同じになるはずです。

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  • 回答No.1

図を描いて、よく見ないとだめですよ >_< (1) S= 1/2* b *c * sinθではないですよ。 θは角Bのことですから、この角をはさむ 2辺は… (2) まず、三角不等式から bの取りうる範囲は求めておきましょう。 次に b= cのとき、θは二等辺三角形の底角になっています。 他に考えられる条件式はないですか? たとえば、余弦定理はまだ使ってないですよね ^^ 最後は微分を使うと、答えがすっと出るのですが数学Iの範囲だけで出すのが…。 (2)の図を描いたときに、θもしくは bが「ちょうどいい」とき、 r/Rの比が最大になることは予想がつくと思います。

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どのような三角不等式が導き出せますか??^^;

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