次の図形問題を教えて下さい。

質問

図のように，線分ABを直径とする半円Oの⌒ABを５等分します。
そのうち，⌒ABを1：4に分ける点をC，3：2に分ける点をDとします。
線分BCとADとの交点をEとし，点Eから直径ABに垂線をひき，その交点をFとします。

このとき，次の各問に答えなさい。

(1) ∠DEBの大きさxを求めなさい。

(2) △AEFと△AECが合同であることを証明しなさい。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）
弦BDに対応する中心角は72°なので、弦BDに対応する円周角は
その1/2で36°。よって角EAB＝36°。

弦ACに対応する中心角は36°なので、弦ACに対応する円周角は
その1/2で18°。よって角ABE＝18°。

ｘ＝180°-∠BEA
　＝∠EAB＋∠ABE＝54°

（２）
∠CAEは弦CDに対応する円周角なので、∠CODの１／２となり、
よって36°。
従って△AEFとAECを比較すると
辺AEは共通
∠CAE＝∠FAE
∠ECA＝∠EFA＝90°
以上より△AEFとAECは合同。

お礼

すぐに回答いただきありがとうございました。

説明を読んでよくわかりました。

ありがとうございました。

補足

ベストアンサーは一人しか選べないようなので、最初に回答いただいた方にいたします。

回答いただいた他の方にはこの場を借りて、御礼申し上げます。m(__)m

回答No.4

noname#215361

(2)の別解
△AEFと△AECが直角三角形であることを使わない解法
直角三角形BEFにおいて、∠EBA=180/5/2=18°
よって、∠BEF=180-90-18=72°
これから、∠AEF=180-54-72=54°
また、∠AEC=54°（∠BEDの対頂角）
∠CAE=∠FAE（等しい長さの弧に対する円周角：36°であるが大きさは必要ない）
以上から、△AEFと△AECは、1辺とその両端の角がそれぞれ等しく合同（辺AEは共通）

お礼

回答いただきありがとうございました。

なるほどと思いました。こういう証明もあるのですね。

ありがとうございました。

回答No.3

noname#215361

(1)
∠COD=180*2/5=72°（⌒CDの中心角）
∠CBD=72/2=36°（⌒CDに対する円周角なので中心角の1/2）
∠ADB=180/2=90°（直径ABに対する円周角）
よって、x=180-90-36=54°

(2)
∠CAD（CAE）=∠BAD（FAE）（等しい長さの弧に対する円周角）
∠ACB=180/2=90°（直径ABに対する円周角）
∠AFE=90°
よって、△AEFと△AECは、1辺とその両端の角がそれぞれ等しく合同（辺AEは共通）

お礼

すぐに回答いただきありがとうございました。

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.2

goo-learner

(1)
∠AOC = 180 / 5 = 36度
円周角の定理から
∠ABC = 36 / 2 = 18度

∠BOD = (180 / 5) * 2 = 72度
円周角の定理から
∠DAO = 72 / 2 = 36度

△EABを考えると
x = ∠ABC + ∠DAO = 18 + 36 = 54度

(2)
△AEFと△AECは直角三角形で、斜辺は共通

∠DOC = 180 / 5) * 2 = 72度
円周角の定理から
∠DAC = 72 / 2 = 36度

∠DOB = 180 / 5) * 2 = 72度
円周角の定理から
∠DAB = 72 / 2 = 36度

直角以外の2角が等しいので、２つの直角三角形は合同

お礼

すぐに回答いただきありがとうございました。

わかりやすい説明でよくわかりました。

ありがとうございました。