誰か次の問題を解いてください

質問

AB=2,AD=4の長方形ABCDの辺BC、AD上にそれぞれ点E、Fがあり、四角形AECFはひし形になる。
AE、CFと線分BDとの交点をそれぞれP、Qとするとき、点Eを通り、線分BDに平行な直線とCFとの交点をRとするとき、四角形PERQの面積を求めよ。

この問題は高校受験の問題ですが、手も足も出ません。

誰かお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

少しやっかいそうな問題ですね。
ただし、書かれている内容（条件）を順番に整理していくと解くことができます。
図を描いてみました。
少し長くなりますが、説明を書きます。

(1)まず、点Eと点Fはどのようにして求められるかを考えます。
四角形AECFはひし形となっています。ひし形の性質としては
・4つの辺の長さが等しい
・対角線は互いに直交し、二等分し合っている（二等分し合うのは平行四辺形の性質でもある）
対角線の性質を考えると、長方形の対角線の交点（図では点M）から辺ACの垂線を引くことで2点 E, Fが得られます。
そして、このとき EM＝FMとなっています。

(2) ひし形のもう一つの性質を使いましょう。
AE＝ xとおくと、ECも xとなります。ということは、BE＝ 4-xです。
三角形 ABEは直角三角形ですので、x^2+ (4-x)^2＝ x^2となります。
これを解くと、x= 5/2となります。

ここからが本題です。

四角形PERQはこのままでは面積を求めるのは難しいです。
そこで等しい図形に変形します。

(3) 三角形MPEと三角形MQFに注目すると、合同であることがわかります。
ポイントは、EM＝FMです。
ということは、四角形PERQの面積は三角形ERFの面積に等しいことになります。
あとは、合同と平行であることから、PE＝QF＝RQであることもわかります。

(4) 三角形ERFの面積を求めるには、
・三角形ECFの面積がわかり、
・辺CRと辺RFの長さの比がわかればよい。
ということになります。

(5) 三角形CQBに注目すると、
CE：EB＝ 5：3、ERとBQは平行となるので、CR：RQの比が求まります。
これで、CR：RFが求まります。

(6) 三角形ECFの面積は
四角形FECDから三角形CDFを引くことで求まります。
四角形FECDは、元の長方形の半分になっています。（台形の面積で求めても構いません。）
(5)の辺の比を考えれば、面積が求まります。

回答No.4

debut

考え方（１例）
・とりあえず、ひし形の１辺を求める。
　（ＢＥ＝ｘとすると、Ｃ Ｅ＝４－ｘ
　　△ＡＢＥで三平方の定理から、ＡＥ^2＝ｘ^2＋４
　　ＡＥ＝Ｃ Ｅなので、ＡＥ^2＝Ｃ Ｅ^2だから、
　　ｘ^2＋４＝(４－ｘ)^2　これを解くと、ｘ＝３/２）
・△ＢＥＰ≡△ＤＦＱ、四角形ＰＥＲＱは平行四辺形なので
　ＦＱ＝ＱＲになる
・△ＦＥＱの底辺をＦＱ、△Ｑ ＥＲの底辺をＱＲとみれば、両者の
　高さが等しいから、面積も等しい。
・四角形ＰＥＲＱの面積は△Ｑ ＥＲの面積の２倍なので、それは
　△ＦＥＱと△Ｑ ＥＲの面積をあわせたもの、つまり△ＦＥＲの
　面積を求めればよいことになる。
・それは、Ｃ Ｒ：ＲＦがわかるから、△Ｃ ＥＦの面積が５/２cm^2
　となることで求められる。
　（Ｃ Ｒ：ＲＦは、ＢＥ：ＥＣ＝３：５＝ＦＤ：ＥＣ＝ＦＱ：Ｃ Ｒ
　　および、ＦＱ＝ＱＲから５：６とわかります）

回答No.3

nag0720

BE=DF=a とすると、
四角形AECFがひし形なので、
AE=AF
2^2+a^2=(4-a)^2
からaが求められます。

点Pと線分BCとの距離(高さ)をhとすると、
a:h=4:2-h
より、hの値も分かります。

点Qと線分BCとの距離(高さ)は2-h
点Rと線分BCとの距離(高さ)は2-2h
なので、四角形PERQの面積は、
ΔBCQ-ΔBEP-ΔECR=4(2-h)/2-ah/2-(4-a)(2-2h)/2

これに、a,hを代入すれば面積が出ます。

回答No.2

naniwacchi

#1です。
すいません、訂正です。
(6) 三角形ECFの面積は、引き算などしなくてもいいですね。
普通に三角形の面積として求められます。