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線分ABは半径4cmの半円Oの直径である。点Cは弧AB上にあり、弧AC:弧CB=3:1である。この半円Oを、弦ACを折り目として折ったとき、弧ACが直径ABと交わる点をDとする。 (1)∠CABの大きさを求めよ。 弧AC:弧CB=3:1であるから、 ∠COB=180°÷4=45°ですよね。 よって、∠CAB=45°/2 だとおもいます。 (2)線分ADの長さを求めよ。 点Dの対称の点をD’とする。と考える。 点D’はABの垂直二等分線上にあると思います。(確信がないです。) そうすると△AOD'より AD=AD'=4√2となると思います。 (3)次の2つ線分AC、ADと弧CDで、囲まれた部分の面積を求めよ。ただし、円周率をπとする。 私の考えは点Cから線分ABに垂線を引き、交わった交点をEとする。 △CAEの面積からいらない部分を引くことを考えて行った。しかし、よくわからずに詰まっています。 すいませんが(2)、(3)の考え方、解説等をお願いします。

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  • 回答No.9
  • char2nd
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 #3&6です。 >(2)の問題で、点DからACに垂線を引きその延長し円との交点をD'として、考えていくことはできませんか?  同じことですよ。 >点Dの対称の点をD’とする。と考える。  これは、作図するときはD’から線分ACに対し垂線を引き、その延長線と孤ACとの交点がD’とします。  したがって、単に「対称」という言葉で表現するか、作図するときの順序で表現するかの違いです。  ∠D’AOが45°で、△AD’Oが直角二等辺三角形になることに気づくかどうかがカギです。 >(3)も中学の内容でお願いします。  欠円の面積の公式は、まとめてしまうと難しく見えますが、順序立てて考えれば意外と単純です。  欠円を構成する弦または孤の中心角(弦または孤の両端と、孤の中心とを結んだときに出来る角)が分れば、欠円の面積は、【扇形部分の面積】-【三角形部分の面積】であることから、それぞれの面積を求めてその差を算出すればいいわけです。  本件の場合だと、線分ACと孤ACによって構成される欠円の面積は、扇形ACOから三角形ACOの面積を引けば求められます。  具体的な数値で表現すると公式にならないので、半径をR、中心角(この場合は∠AOC)をθとします。 【扇形部分の面積】  円の面積と中心角のと360°の割合から A1=πR^2×θ/360 【三角形部分の面積】  [底辺]×[高さ]÷2より、[底辺]は半径R、[高さ]はRsin(180-θ)より、 A2=1/2×R×Rsin(180-θ)=1/2×r^2×sinθ 注)sin(180-θ)=sinθ  従って、欠円の面積は、 A=A1-A2  =πR^2×θ/360-1/2×R^2×sinθ  =R^2×{πθ/360-1/2×sinθ}  R=D/2より、 A=(D/2)^2×{πθ/360-1/2×sinθ}  =D^2×{(π/4)×(θ/360)-1/8×sinθ}

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その他の回答 (8)

  • 回答No.8
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

No2です。 (2)DからACに垂線DHを引き、その延長と弧ABとの交点をD' と    する。    折りたたんで重なるのだからDH=D' H    AHは共通    ∠AHD=∠AHD'   よって△ADH≡△AD' H    したがって、∠DAH=∠D' AH=45°/2だから∠DAD' =45°    三角形OAD' は二等辺三角形だから∠AD' O=45°    以上より、AD' =4√2=AD (3)求める面積はAD' とACと弧AD' で囲まれる部分と合同だから    扇形AOCから△AOCと弦AD' ・弧AD' で囲まれる弓形を    引けばよい。    扇形AOCは∠AOC=135°だから面積は16π×135/360=6π    三角形AOCは底辺AO(4cm)、高さCからABにおろした垂線    の長さ(2√2cm・・斜辺OAの直角二等辺三角形の他の辺)より      4×2√2÷2=4√2    弦AD' と弧AD' で囲まれる弓形は円の1/4から△AOD' を    引けばよいから、4π-4×4÷2=4π-8    よって、求める面積は6π-4√2-(4π-8)=・・・

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  • 回答No.7
  • postro
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#4です 中学でわかるように書いているつもりです。 他の多くの方々の内容も中学でわかると思います。 ちゃんと読んでください。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 もう一度考えてみたら、確かにそうですね! 私の勘違いでした。すいません。もっと勉強します。 ほんとにありがとうございました。

  • 回答No.6
  • char2nd
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 #3です。  欠円の公式が間違ってました。  正しくは、次の通りです。 A=D^2{(π/4)×(θ/360)-1/8×sinθ}

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質問者からの補足

皆さんありがとうございます。 中学でもわかる解き方がありましたら教えてください。できれば、 (2)の問題で、点DからACに垂線を引きその延長し円との交点をD'として、考えていくことはできませんか? (3)も中学の内容でお願いします。 わがまま言ってすいません・・・

  • 回答No.5

(2)スチュワートの定理を用いて AD=4+1-1-√5=4+√5となりますね。 (3)ワイヤシュトラウスの定理を用いて 232πー34となりますね。ADに対して両定理をうまくつかうのがコツです!

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  • 回答No.4
  • postro
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(2)ですが、 弧AC上に∠D'AC=∠DACになるようにD'をとる 弦ACを折り目として折ったら、AD'とADが重なる。 ∠DAC=45°/2 だから∠D'AB=45° 結果的に点D’はABの垂直二等分線上にある。と考えればいかがでしょう? (3)は 求める面積は、2つの線分AC、AD’と弧CD’で、囲まれた部分の面積と同じだから、これを求めることを考える。 求める面積D'AC=D'AB-CAB 答えは 2π+8-4√2 になった。

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  • 回答No.3
  • char2nd
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(2) について。  D’とOを結ぶと、D’Oは半円Oの半径ですから、 AO=D’O となり、△AOD’は二等辺三角形ということになります。  このとき、D’が線分ACに対してDの対称となる点であることから、 ∠DAC=∠D’AC=45°/2 ∴∠DAD’=45°  従って、△AOD’は直角二等辺三角形ということになり、∠AOD’=90°となります。  Oは線分ABの中点ですから、D’は線分ABの垂直二等分線上にあります。 (3) について。  問題の図形と線分AC・線分AD’・孤CD’が作る図形とが合同であることが判ればそれほど難しくないでしょう。  弦ACと孤ACからなる欠円の面積から、弦AD’と孤AD’からなる欠円の面積を差し引けば、問題の面積が求められます。  欠円の面積は、直径をD、中心角をθとすれば、 A=D^2{(π/2)×(θ/360)-1/8×sin(2θ)} です。

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  • 回答No.2
  • debut
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重なるのだから、△ADC≡△AD' Cで、∠DAC=∠D' AC よって、∠DAD'=45°なので中心角DO D'=90° つまりD'は弧ABの中点、つまりABの垂直二等分線と弧ABの交点。 (3)はAC,AD'、弧CD'で囲まれる部分と同じなので、    扇形AOCから△AOCと弦AD'と弧AD'で囲まれる弓形を    引けば求まると思います。

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  • 回答No.1

(2)まではあってると思います (3)はACとADと弧CDに囲まれたであってますかね?単純にDからOに垂線をおろせばできるとおもいます AODとODCをたしてAOCをひく方法だと思います

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質問者からの補足

ありがとうございます。 何で、点D’はABの垂直二等分線上にあるのですか? そこがいまいちわかりません。 (3)これから考えてみたいと思います。

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