高校数学の行列の問題です

質問

平面上の1次変換fが直交するベクトルの組をつねに直交するベクトルの組に移すとき、↑0でない任意のベクトル↑aに対して|f(↑a)|/|↑a|が

一定値1である1次変換は、原点からの距離を常に不変に保つ1次変換である　これは原点のまわりの回転と原点を通る直線に関する対称移動からなる合同変換であることを証明しなさい

解説:ｆを(p,q,r,s)とする　直交する任意の2ベクトル(x,y),)(-y,x)のfによる像(p,q,r,s)(x,y)=(px+qy,rx+sy),(p,q,r,s)(-y,x)=(-py+qx,-ry+sx)が常に直交する条件は(px+qy)(-py+qx)+(rx+sy)(-ry+sx)=0

すなわち(pq+rx)x^2+(-p^2+q^2-r^2+s^2)xy-(pq+rs)y^2=0が任意の実数x,yに対して成り立つことである(1)　よってpq+rs=0かつp^2+r^2=q^2+s^2　この時、任意のベクトル↑a=(x,y)≠0に対して

|f(↑a)|^2=(px+qy)^2+(rx+sy)^2=(p^2+r^2)x^2+2(pq+rs)xy+(q^2+s^2)y^2

=(p^2+r^2)|↑a|^2 よって|f(↑a)|/|↑a|=√(p^2+r^2=1、(1)から(p,r)と(q,s)は直交する単位ベクトルである　よって実数θ(0<=θ<2π)を用いて　(p,q)=(cosθ,sinθ),(q,s)=(cos(θ±π/2),sin(θ±π/2))

=(-+sinθ、±cosθ)(前のsinの－+は－が上で+が下、復号同順)

と表せる　よって(p,q,r,s)=(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)(原点を中心とする角θの回転) (cosθ、sinθ,sinθ,-cosθ)(直線xsinθ/2=ycosθ/2に関する対称移動)

(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)(原点を中心とする角θの回転)の方は分かったのですが(直線xsinθ/2=ycosθ/2に関する対称移動)の方が何故そうなるのか分からないです

回答No.4

島崎 崇（@tadopika） · ベストアンサー

＞何故対称移動させる直線が原点を通り、傾きがtan(θ/2)の直線となるかを教えてください

原点を通り、傾きがtan(θ/2)の直線とは、直線L: xsin(θ/2) = ycos(θ/2) のことです。

つまり、行列Aを(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で、対称移動させる直線は、直線Lとなります。
言い方を変えると、直線Lに関する対称移動を表す行列が、A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ) です。

別の直線、例えば、原点を通らない直線に対する対称移動を表す行列は、Aとは違った形になります。

お礼

分かりました、後は自分で考えてみます

補足

>原点を通り、傾きがtan(θ/2)の直線とは、直線L: xsin
>(θ/2) = ycos(θ/2) のことです。
ここは分かりました有難うございます

>行列Aを(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で、>対称移動させる直線は、直線Lとなります。
ここが分かりません、この行列から何故対称移動させる直線は、直線Lとなるんですか？対称移動を表す直線がy=tanθ/2×xに何故なるのか分からないです

回答No.5

島崎 崇（@tadopika）

＞この行列から何故対称移動させる直線は、直線Lとなるんですか？

それは、行列Aが、(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ) だからです。
既に説明が尽きていますので、他に答えようがありません。

納得いかないなら、θに具体的な値を代入して行列Aを定め、xy平面上の点を10個でも20個でもとり、それらの点と行列Aによる移動先の点を方眼紙に記入してみてください。
θを変えて、同様の作業を行ってください。
いずれ、行列Aと直線Lがセットになっていることがあなたにも理解できるでしょう。

お礼

御返答ありがとうございます

回答No.3

島崎 崇（@tadopika）

「PQとLが直交する」という重要な条件を忘れていました。
(**)式のミスと合わせて、後半を訂正しておきます。

行列Aが、直線Lに関する対称移動を表す
⇔ PQの中点がL上にあり、且つ、PQとLが直交する
⇔ (x+x')/2*sin(θ/2) = (y+y')/2*cos(θ/2) ...(**)
且つ、(x'-x)*cos(θ/2) = -(y'-y)*sin(θ/2) ...(***)

(**)式の左辺は、(*)式とφ=θ/2を用いて、
(x+xcosθ+ysinθ)/2*sin(θ/2)
= (2x(cosφ)^2+2ysinφcosφ)/2*sinφ
= sinφcosφ(xcosφ+ysinφ)
となります。
右辺も計算してみてください。同じ結果が得られるはずです。

又、(***)式の両辺についても、それぞれ、
2sinφcosφ(-xsinφ+ycosφ)
となります。

(**)、(***)の成立によって、行列Aは、直線Lに関する対称移動を表します。

尚、AA=E（単位行列）です。

さて、φ=θ/2は、単に式を見やすくするために用いたものです。
又、直線Lは、行列Aとセットになっています。
行列Aを上記のように定義した段階で、対称移動させる直線は、原点を通り、傾きがtan(θ/2)の直線となります。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>行列Aを上記のように定義した段階で、対称移動させる直線

>は、原点を通り、傾きがtan(θ/2)の直線となります。

ここの説明をもう少し何故対称移動させる直線が原点を通り、傾きがtan(θ/2)の直線となるかを教えてください

回答No.2

島崎 崇（@tadopika）

行列 A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ) が直線L: xsin(θ/2) = ycos(θ/2) に関する対称移動を表すというのは、次のようにして確めることができます。

点P(x, y)が行列Aによって点Q(x', y')に移動するとき、
(x', y') = (cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)(x, y) ...(*)

行列Aが、直線Lに関する対称移動を表す
⇔ PQの中点がL上にある
⇔ (x+x')/2*sin(θ/2) = (y+y')/2*ycos(θ/2) ...(**)

(**)式の左辺は、(*)式とφ=θ/2を用いて、
(x+xcosθ+ysinθ)/2*sin(θ/2)
= (2x(cosφ)^2+2ysinφcosφ)/2*sinφ
= sinφcosφ(xcosφ+ysinφ)
となります。
右辺も同様に計算してみてください。同じ結果が得られるはずです。
即ち、行列Aは、直線Lに関する対称移動を表します。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>φ=θ/2を用いて、
φというのはどこから出てきたのですか？

xsin(θ/2) = ycos(θ/2) この直線に関して対称というのは説明で分かるかも知れないですが、直線の式がこの式だというのはどこから出てきたのですか？

回答No.1

noname#199771

参考URLの「原点を通る直線
に関する折り返し」参照。

参考URL：

http://mathtrain.jp/linear_map

お礼

御返答ありがとうございます

補足

原点に関する移動は分かりましたが、直線に関する移動が分かりません、この直線の式がどうやって出てきたか分かりません