高校数学の行列です

質問

A=(a,b,c,d)(行列で順に左上、右上、左下、右下の順)(a,b,c,d∈R),A≠kE(k∈R),A≠Oとする　(1)Aの固有値λと固有ベクトル↑xが存在する条件はλが固有方程式λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0(1)の解であることを証明せよ

(2)(1)が異なる実数の固有値(λ=)α、βをもつとき、それらに対する固有ベクトル
(↑x=)↑x1,↑x2は1次独立であることを証明せよ

(3)特にb=cのとき、(2)において↑x1⊥↑x2であることを証明せよ

(1)はA↑x=λ↑x,↑x≠↑0(⇔A↑x//↑x(広義平行),↑x≠0)

⇔(A-λE)↑x=↑0,↑x≠↑0

⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)

⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0

⇔λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0
となっていたのですが

⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)ここまでは分かりましたが、
この次の⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0これは何で言えるんですか？

(x,y)は0では無いですが、行列って互いに0でなくても掛けたら0になることはありますよね、それに0になったとしてもdetも0になるんですか？

(2),(3)は解説を読むと分かって参考のようにして ケーリーハミルトンの定理
A^2-(α+β)A+αβE=Oが成り立つから↑0でない任意の平面ベクトル↑xに対して

A(A↑x-β↑x)=α(A↑x-β↑x)
A(A↑x-α↑x)=β(A↑x-α↑x)

よって(A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2とあったのですが

(A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2が何故成り立つのか分かりません

その後すなわち行列(A-βE),(A-αE)によって任意のベクトル↑xはそれぞれα、
βの固有ベクトル↑x1,↑x2にへ行くなベクトルに変換されるとあったのですが、これも何の事か良くわからないのですが、詳しい説明をよろしくお願いします

(注)として行列Aが固有値α、β(α≠β)と固有ベクトル↑x1,↑x2をもつ場合、平面上の任意のベクトル↑xを↑x1,↑x2に平行なそれぞれのベクトル↑p,↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする

　このとき、行列P=1/(α-β)×(A-βE),Q=１/（β-α)×(A-αE)はそれぞれ↑xを↑x1,↑x2上へ平行射影する1次変換である　

すなわち　P↑x=↑p,Q↑x=↑q
特に行列Aが対称行列のときP,Qは正射影の行列になるとあるのですが

↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする　までは分かりますが、この後の説明
がさっぱりわかりません、詳しくお願いします

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

そう.

(2) は「固有ベクトルが独立じゃない」ことを仮定して背理法に走った方が簡単じゃないかなぁ.

(3) は「垂直」をどう示せばいいかだけの勝負.

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「固有ベクトルが独立じゃない」ことを仮定して背理法に走>った方が簡単じゃないかなぁ.
(2),(3)の問題の解説は分かったんです、今回はこの解法を参考にして参照みたいな所と(注)を理解したいので、疑問点の方よろしくお願いします

回答No.2

Tacosan

へ? だって, 逆行列持ってたら
(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)
が成り立たんでしょ?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)
>が成り立たんでしょ?
逆行列を持っていたら両辺に左から

(a-λ,b,c,d-λ)(インバース)を掛けたら(x,y)=(0,0)になるんじゃないですか、(x,y)≠(0,0)だから持たないってことですか?

回答No.1

Tacosan

とりあえず (1) だけ:
det A ≠ 0 ⇔ A は逆行列を持つ

お礼

ご返答ありがとうございます

補足

>det A ≠ 0 ⇔ A は逆行列を持つ
それは分かりますが
(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)
からdet(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0が何故言えるんですか？