三角関数の問題です。

質問

実数x、yが11x^2+12xy+6y^2=4を満たす時、
x^2+y^2の最大値と最小値を次のように求める。
xy平面上の原点Oと他の点P(x,y)を結ぶ線分OPの長さをr、
x軸と動径OPのなす角をθとすると、
1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)
=(オ)/(カ)cos2θ+(キ)sin2θ+(クケ)/(コ)=(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)である。
但し、sinα=(セ)/(ソタ)、cosα=(チツ)/(テト)である。
従って、x^2+y^2の最大値は(ナ)、最小値は(ニ)/(ヌネ)である。

まったく手に負えません…
問題の意味が全然わからないのですが
どなたかわかりやすく説明していただけませんか？

回答No.2

ferien · ベストアンサー

実数x、yが11x^2+12xy+6y^2=4を満たす時、
＞x^2+y^2の最大値と最小値を次のように求める。

＞xy平面上の原点Oと他の点P(x,y)を結ぶ線分OPの長さをr、
＞x軸と動径OPのなす角をθとすると、
ｘ＝ｒcosθ，ｙ＝ｒsinθ，ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2cos^2θ＋ｒ^2sin^2θ＝ｒ^2

＞1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)
＞=(オ)/(カ)cos2θ+(キ)sin2θ+(クケ)/(コ)=(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)である。
1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)
＝（１／ｒ^2）（１１ｒ^2cos^2θ＋１２ｒ^2sinθcosθ＋６ｒ^2sin^2θ）
＝(11/2)（１＋cos2θ）＋６sin2θ＋(6/2)（１－cos2θ）２倍角の公式より、
＝(5/2)cos2θ＋６sin2θ＋(17/2)　
＝(13/2)sin（2θ＋α）＋(17/2)　合成の公式より

＞但し、sinα=(セ)/(ソタ)、cosα=(チツ)/(テト)である。
ルート｛（5/2)^2＋６^2｝＝ルート（169/4）＝13/2
sinα=(5/2)／(13/2)＝５／１３，cosα=６／(13/2)＝１２／１３

>従って、x^2+y^2の最大値は(ナ)、最小値は(ニ)/(ヌネ)である。
1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)＝(13/2)sin（2θ＋α）＋(17/2)より、
４／ｒ^2＝(13/2)sin（2θ＋α）＋(17/2)
－１≦sin（2θ＋α）≦１より、
－(13/2)＋(17/2)≦(13/2)sin（2θ＋α）＋(17/2)≦(13/2)＋(17/2)
２≦４／ｒ^2≦１５
1/15≦ｒ^2／４≦1/2
４／１５≦ｒ^2≦２　ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2だったから、
ｘ^2＋ｙ^2の最大値は２，最小値は４／１５

でどうでしょうか？

お礼

ご丁寧にありがとうございました！
理解することができました（*^_^*）

回答No.4

ferien

ANo.2です。少し訂正です。お願いします。

＞1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)
の部分の答えに式変形が対応していなかったので、
＞=(オ)/(カ)cos2θ+(キ)sin2θ+(クケ)/(コ)=(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)である。

1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)
＝（１／ｒ^2）（１１ｒ^2cos^2θ＋１２ｒ^2sinθcosθ＋６ｒ^2sin^2θ）
＝１１cos^2θ＋１２sinθcosθ＋６（１－cos^2θ）
＝５cos^2θ＋１２sinθcosθ＋６　……アイウエ
＝(5/2)（１＋cos2θ）＋６sin2θ＋６
＝(5/2)cos2θ＋６sin2θ＋(17/2)　……オカキクケコ

以下は同じです。

お礼

ありがとうございますっ

回答No.3

stomachman

問題の意味はこういうことです。

> 実数x、yが11x^2+12xy+6y^2=4を満たす

　xy平面を考えますと、この式は、一本の曲線を表している方程式です。この曲線をCとしましょう。

> x^2+y^2

というのは、xy平面の原点Oから曲線C上の点(x,y)までの距離の2乗ですね。

　つまり、曲線C上の点(x,y)のうちで原点から最も遠くにある点を考えると、その距離の2乗がx^2+y^2の最大値。曲線C上の点(x,y)のうちで原点から最も近くにある点を考えると、その距離の2乗がx^2+y^2の最小値。
　これを計算するために、まず曲線Cを極座標r,θで表します。どうやるかというと、まずx^2+y^2に
　　x = r cosθ
　　y = r sinθ
を代入すると、
　　r^2
である。Cの方程式にも代入してやると、得られるのは極座標で表されたCの方程式、
　　(r^2)((ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ))=4
です。両辺を(r^2)で割り、三角関数の公式を使って左辺を整理すると、
　　(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ) = 4/(r^2)
という格好にできる、ということですね。

　右辺4/(r^2)は「原点と点P=(x,y)との距離の２乗(=r^2=x^2+y^2)」に反比例するのですから、左辺(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)が最大のときx^2+y^2は最小、左辺が最小のときx^2+y^2は最大になる。
　そして、左辺はsine関数（これは-1～1までの間の値しか取らない）の一次式の格好であるから、左辺の最大値と最小値は簡単に分かる。

お礼

やっと問題の意味が理解できました
ありがとうございます！

回答No.1

MarcoRossiItaly

「問題の意味」は、書いてあるとおりです。何らかの方法により、x^2+y^2という数の最大・最小を求めようとしているのです。ただし、xとyは11x^2+12xy+6y^2=4を満たすような数だとのことです。

こういう、円、楕円、双曲線の式は、パラメーター表示をして計算を進めるのです。まずは教科書を読んでください。この問題では、rとθがパラメーターですね？

★
xとyは、パラメーターを使って書くと、いくつですか？例えばθ=π/4くらいの状況でも考えて（絵に描いて）、OPを斜辺とする直角三角形の各辺の長さをrとθで表すことによって、P(x,y)が分かりますね？

ところで、なんで「1/r^2(11x^2+…」などという計算を始めているのかというと、こういう計算で得られる結果から、何かが分かるからです。解答者としては、とりあえず書いてあるとおりに計算をしてみればいいだけです。

解答の解説文で分からない箇所を書き写してこの質問に具体的に示し、具体的な質問をしてください。質問者さんなりの考えや計算があるなら、それも併記してください。

お礼

この通りにやってみたらできました。
ありがとうございます！