数II・三角関数

質問

【問1】x≧0を満たすすべてのxに対して、
不等式xcos＾2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin＾2α-1＞0…(1)
が成り立つようなαの値の範囲を求めよ。ただし、0≦α≦π/2とする。

(1)の左辺をxについて整理すると
(√3sinアα+cosイα)x+(ウsinα+エ)(オsinα-カ)＞0であり、
x≧0を満たすすべてのxについて(1)が成り立つ条件は
√3sinアα+cosイα≧0かつ(ウsinα+エ)(オsinα-カ)＞0が成り立つことである。
これより、求めるαの値の範囲はπ/キ＜α≦クπ/ケコである。

【問2】0≦Θ＜2πのとき、y＝sin2Θ＋2√2sinΘ＋2√2cosΘ－4とする。

x＝sinΘ＋cosΘとおくと、2sinΘcosΘ＝x^ア－イであるからy＝x^ウ＋エ√オx－カである。
ここで、x＝√キsin(Θ＋π/ク)であるから、xのとりうる値の範囲は－√ケ≦x≦√コである。
したがって、yはΘ＝π/サのとき最大値シをとり、Θ=スπ/セのとき、最小値ソタをとる。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞【問1】x≧0を満たすすべてのxに対して、
＞ 不等式xcos＾2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin＾2α-1＞0…(1)
＞ が成り立つようなαの値の範囲を求めよ。ただし、0≦α≦π/2とする。

＞(1)の左辺をxについて整理すると
＞(√3sinアα+cosイα)x+(ウsinα+エ)(オsinα-カ)＞0であり、
＞ x≧0を満たすすべてのxについて(1)が成り立つ条件は
＞ √3sinアα+cosイα≧0かつ(ウsinα+エ)(オsinα-カ)＞0が成り立つことである。
xcos＾2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin＾2α-1＞0…(1)より、
(cos^2αーsin^2α＋√3・2sinαcosα)ｘ＋4sin^2αー1＞0
２倍角の公式より、
(cos2α＋√3sin2α)ｘ＋（4sin^2α－1)＞0
(√3sin2α＋cos2α)ｘ＋(2sinα＋1)(2sinα－1)＞0　
　……ア＝2，イ＝2，ウ＝2，エ＝1，オ＝2、カ＝1

＞ これより、求めるαの値の範囲はπ/キ＜α≦クπ/ケコである。
合成の公式より、√3sin2α＋cos2α＝2sin(2α＋π/6）≧0より、
sin(2α＋π/6）≧0　……(2)
0≦α≦π/2より、π/6≦2α＋π/6≦7π/6　だから、
(2)を満たすαは、単位円を描くと、π/6≦2α＋π/6≦π
よって、0≦α≦5π/12　……(3)
(2sinα＋1)(2sinα－1)＞0より、sinα＜-1/2，sinα＞1/2
0≦α≦π/2より、0≦sinα≦1だから、sinα＞1/2　……(4)
(4)を満たすのは、単位円より、π/6＜α≦π/2　……(5)
(3)(5)の共通範囲は、π/6＜α≦5π/12　……キ＝6，ク＝5，ケコ＝12

＞【問2】0≦Θ＜2πのとき、y＝sin2Θ＋2√2sinΘ＋2√2cosΘ－4とする。
ｙ＝2sinΘcosΘ＋2√2(sinΘ＋cosΘ)－4　……(*)

＞x＝sinΘ＋cosΘとおくと、2sinΘcosΘ＝x^ア－イであるからy＝x^ウ＋エ√オx－カである。
ｘ^2＝sin^2Θ＋cos^2Θ＋2sinΘcosΘより、2sinΘｘcosΘ＝ｘ^2－1　……ア＝2，イ＝1
(*)より、ｙ＝ｘ^2－1＋2√2ｘ－4＝ｘ^2＋2√2ｘ－5　……ウ＝2，エ＝オ＝2，カ＝5

＞ ここで、x＝√キsin(Θ＋π/ク)であるから、xのとりうる値の範囲は－√ケ≦x≦√コである。
合成の公式より、
x＝sinΘ＋cosΘ＝√2sin(Θ＋π/4)　……キ＝2，ク＝4
0≦Θ＜2πより、π/4≦Θ＋π/4＜9π/4　……(1)　だから、
-1≦sin(Θ＋π/4)≦1より、-√2≦√2sin(Θ＋π/4)≦√2
よって、-√2≦ｘ≦√2　……(2)　……ケ＝コ＝2

＞ したがって、yはΘ＝π/サのとき最大値シをとり、Θ=スπ/セのとき、最小値ソタをとる。
ｙ＝ｘ^2＋2√2ｘ－5＝（ｘ^2＋2√2ｘ＋2）－2－5＝(ｘ＋√2)^2－7　だから、
最小値は、(2)より、ｘ＝-√2のとき、ｙ＝-7　
このとき、√2sin(Θ＋π/4)＝-√2だから、sin(Θ＋π/4)＝-1　
(1)より、Θ＋π/4＝3π/2より、よって、Θ＝5π/4
最大値は、（2)より、ｘ＝√2とき、ｙ＝(√2＋√2)^2-7＝1
このとき、√2sin(Θ＋π/4)＝√2だから、sin(Θ＋π/4)＝1　
(1)より、Θ＋π/4＝π/2より、よって、Θ＝π/4
以上より、
Θ＝π/4のとき、ｙの最大値は、1　……サ＝4，シ＝1
Θ＝5π/4のとき、ｙの最小値は、-7　……ス＝5，セ＝4，ソタ＝-7

でどうでしょうか？　公式など確認してみてください。

回答No.2

info22_

【問1】
xcos＾2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin＾2α-1＞0…(1)
(1)の左辺をxについて整理すると
(√3sin(2α)+cos(2α))x+(2sinα+1)(2sinα-1)＞0 ...(1)'

(√3sinアα+cosイα)x+(ウsinα+エ)(オsinα-カ)＞0
と比較すれば
ア...2, イ...2, ウ...2, エ...1, オ...2, カ...1

x≧0を満たすすべてのxについて(1)が成り立つ条件は
√3sin(2α)+cos(2α)≧0 かつ (2sinα+1)(2sinα-1)＞0が成り立つことである。
(2sinα+1)(2sinα-1)＞0, 0≦α≦π/2より (2sinα+1)>0なので
　(2sinα-1)＞0 　∴sinα＞1/2 ∴π/6＜α≦π/2
√3sin(2α)+cos(2α)=2sin(2α+π/6)≧0,π/3＜2α≦πより
π/2＜2α+π/6≦π ∴π/6＜α≦5π/12
>求めるαの値の範囲はπ/キ＜α≦クπ/ケコである。
と比較して
キ...6, ク...5, ケコ...12

【問2】
y＝sin(2Θ)＋2√2sinΘ＋2√2cosΘ－4
x＝sinΘ＋cosΘとおくと、
2sinΘcosΘ＝x^2-1＝x^ア－イ
ア...2, イ...1

であるから
y＝2sinΘcosΘ+2√2(sinΘ＋cosΘ)-4
＝x^2-1+2√2x-4
＝x^2+2√2x-5
＝x^ウ＋エ√オx－カである。
ウ...2, エ...2, オ...2, カ...5

ここで、x＝√2sin(Θ＋π/4)＝√キsin(Θ＋π/ク)であるから、
キ...2, ク...4

　－√2≦x≦√2
xのとりうる値の範囲は－√ケ≦x≦√コである。
ケ...2, コ...2

y＝(x+√2)^2 -7
yはx＝√2のとき（Θ＝π/4＝π/サのとき）最大値8-7＝1＝シをとり、
サ...4, シ...1

x=-√2のとき（Θ＝5π/4＝スπ/セのとき）最小値-7＝ソタ、最小値ソタをとる。
ス...5, セ...4, ソタ...-7