途中まで解けたけどその後が・・・

質問

0°≦θ<360°の時、y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3とする。
x=sinθ+cosθとおくと、yはxの関数アとなる。
x=イsin(θ+ウ°）であるから、xの値の範囲はエである。
したがって、yはθ＝オ°のとき、最大値カをとる。また、ｙの最小値はキである。
ア～キまでを答えよ。

という問題なんですが、アは、y=x^2-2x-4と求まるのですが、
その後がわかりません。解説しながら丁寧に教えてもらえるとうれしいです。
お願いします。

回答No.3

fushigichan

こんにちは。

＞0°≦θ<360°の時、y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3とする。
x=sinθ+cosθとおくと、yはxの関数アとなる。
x=イsin(θ+ウ°）であるから、xの値の範囲はエである。
したがって、yはθ＝オ°のとき、最大値カをとる。また、ｙの最小値はキである。

アは、mario-matuzyunさんの答えのとおりですね。
x=sinθ+cosθとおくと、x^2=(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθとなるので
sin^2θ+cos^2θ=1 であることより、2sinθcosθ=x^2-1　とおけます。
y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3にこれを代入して
y=(x^2-1)-2(sinθ+cosθ)-3
=x^2-1-2x-3
=x^2-2x-4 ・・・・・（ア）

さて、θ=45°のとき、sinθ=cosθ=1/√2 であることに目をつけましょう。
x=sinθ+cosθ
=√2{sinθ・1/√2 +cosθ・1/√2}
=√2{sinθ・cos45°+cosθ・sin45°}
=√2sin(θ+45°)
したがって、（イ）は√２、（ウ）は４５°になります。

ここで、０°≦θ＜３６０°ですから、
４５°≦θ＋４５°＜４１５°となります。
このとき、sin(θ＋４５°）のとりうる範囲は
－１≦sin(θ＋４５°）≦１になるので、ｘの範囲は、
ー√２≦ｘ≦√２・・・・（エ）

さて、最後にｙの最大値、最小値を考えてみましょう。
y=x^2-2x-4　と変形できていますから、
y=(x-1)^2-5と変形してみると、これは頂点（１，ー５）下に凸の二次関数
ですね。ただし、上で求めたように、ｘの変域はー√２≦ｘ≦√２です。
この変域でのｙの最大値、最小値を求めればいいことになります。

ｙが最大になるのは、ｘ＝－√２のときですね。
これを代入して
ｙ＝（－√２－１）＾２－５
　＝２√２－２
このときのθは、ｘ＝－√２＝√２sin（θ＋４５°）より求まる。
sin(θ＋４５°）＝－１となるθは、θ＋４５°＝２７０°だから
θ＝２２５°ですね。・・・・（オ）
このときｙは最大値２√２－２をとります。・・・（カ）

最小値は頂点のｙ座標ですから、ｙ＝ー５・・・（キ）

回答No.2

TK0318

＃１の方のでいいと思います。最後の部分がないので・・・
最小値は
x=1の時最小値をとりy=-5ですね。

回答No.1

sanpogo

イ、ウは合成公式を使ってそれぞれ√２と４５
－１≦sinθ≦１
なので
エは－√２≦ｘ≦√２
ｙ＝（ｘ―１）＾２－５
ｙが最大になるのはｘ＝√２の時なのでθ＋４５°＝９０°
つまりθ＝４５°
最大値は２√２－２